[35] Symmetrische Funktionen. 249 



.-f ' 4, 32. -J 3,1- 2, 1 , 2. 1= 2, _ 2, 1 1 o 



o 10, 62, 3, 15 _ as, 7, 4a .j; f, 4ä .), 52 2 9, 52 5, . 



'^- ■ • " "9. 63, 2, 1» '^a*. S, 5=, V '^8, L-K l "s, 4S, 1 "ll, 5. 4, 1 ^4, 1 



d) Mit m,, war, s. Gl. (2) oder (3), die Anzahl derjenigen « bezeichnet, 

 die den Wert h haben. Nun sei [wa] die Summe aller m,,, deren Zeiger 

 /?>/. ist. Dann wird^): 



(a) (w^l)! [mß 



"'^d ^'^ = (- 1)-"' • ^, , ,,^^ , ftir . == L (29 a) 



lerner «. . ,r-2 = (— i) ; , — ,• r n , ■ (='^) 



Die Gleichungen 



C'i = C| ; Ci- = q2 C2 ; Ci3 = C, 3 2 c, 0-2 + Cj : (7,4 =r C| ■• 3 C| 2 Co + 2 C| C;, + C2 - C4 



bestätigen (29 a) für r = 1; 2; 3; 4. Sei (29 a) für alle Zahlen von 1 bis 

 r — 1 erwiesen. In 



^)., ir-i =^ '^). • Cl,■^^ — c;^_|_i • C[r^j -r q+2 • Ci,-— r— ... 



kann rechts jede Determinante nach I und (29 a) entwickelt werden. Aus 

 der Gesamtentwicklung ist der Faktor von K(a) = Ci""' Cj"- . . . c^,"*'' zu er- 

 mitteln. Im /^-ten jener Glieder steht der Faktor (— 1)''"' • ca+/j-i vor der 

 Determinante: letztere hat den Grad r — h und aus ihr ist das Glied 

 K(u) : Ci.+h-i nebst dem Zahlenfaktor zu entnehmen. Dieses Glied hat 

 ni — 1 Faktoren ; die Exponenten der einzelnen c stimmen im allgemeinen 

 mit denen in K^a) übereiu, nur statt mx+h-i steht m).-^h-\ — 1- Wird das 

 Glied mit dem vor der Determinante stehenden Faktor c;.+h-\ vereinigt, so 

 erhält auch dieses c den Exponenten jka+ä-i und der allgemeine Teil des 

 Gliedes ist Z(«). Als Zahlenfaktor des Gliedes ergibt sich aus (29 a) 

 (m — 1)! • Hi/.+Ä-i : mj mj! . . . m^J, indem statt 1 : ('»i;.+/j_i — 1)! gesetzt 

 wird mi+h-\ : »U+A-i!; das Vorzeichen wird, nach Vereinigung mit dem 

 vor der Determinante stehenden, (— l)h-\+{r-h)-(m-i) = (_ 1)'--»'. Vereinigt 

 man endlich alle Glieder K(a) in der Entwicklung von Cx, i^-i , so erhält 

 man für den zugehi3rigen Zahlenfaktor 3«; j^-i genau den in (29) angegebenen 

 Wert. Wird bei dieser Überlegung i. = 1 gesetzt, so ist zugleich (29 a) für 

 das um 1 gröfsere r und damit sowohl (29) als (29 a) vollständig bewiesen. — In 



1) (29a) zuerst bei Naegelsbach, Progr. Zweibrücken 1871, 8. VII. D^e Formel (29) 

 zuerst J. 9.3 S. 115. Ans J. 93, Gl. (2.5) und (25 a) folgt unsere Gl. (30) für p = 2. 



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