252 Carl Kostka, [38] 



Aus (30) mufs (29) entstehen, wenn /, = 1 ist. Aulserlich wird dies 

 erreicht durch die Festsetzung-: „Tritt nig in der zweiten Zeile der Determi- 

 nante bei (30) auf, so ist dafür — {m — 1) zu setzen." Denn in diesem Fall 

 ist [»i;.J = [»(]] = m; addiert man die zweite Spalte jener Determinante 

 zur ersten, so erkennt man [»»;.„]•(,'« — 1) als Wert der Determinante und 

 (30) geht in (29) über. 



Sind bei C(;.) drei Zeiger >1, so stöfst. man, falls gleiche Zeiger 

 darunter sind, auf Hindernisse in der Bestimmung des Aufbaues von x",. 

 Die Schwierigkeiten erledigt mau besser sogleich beim allgemeinen Fall. 



13. (x) hat in der allgemeinen Form (8) p Zahlen > 1. 



Bei C(;.) stehen in den vorderen p — 1 Spalten von der {p + l)-ten 

 Zeile ab nur Nullen. Man zerlege C(;.) in eine Summe aus Produkten von 

 je zwei Teildeterminanten, die eine vom {p — l)-teu Grade und nur aus den 

 vorderen p — 1 Spalten stammend; dann kann die Summe als Determinante 

 j9-ten Grades geschrieben werden: 



(^{X) = I '^x '■;.+i ••■ ^/.+p-2 ^?.+p-i,ir-p I , " (-^2) 



wo mit Ersatz von X durch Z,,^^ — h + 1 die /?-te Zeile aus der hingeschriebenen 

 entsteht. Hier wird das letzte Glied jeder Zeile nach (29) entwickelt, dabei 

 m und r statt yn und r gesetzt: 



I ,r^ (m— l)!-rm;, ,1 



Ci)\ = ^ «■; c;, , ... ^-i + n-oZui—yy^'"- , , , •C,'"'C2'"=C3'"»... . (32a) 



(/) ^ / /+1 A+p Zj^^ ' m, ! 1112! m,.,! . . . 1 -! J \ ' 



Dabei ist nti + nta + ntg + . . . = m und nti + 2m.2 + S-nta + • ■ • = ^ + r — 1, 

 dem Gewicht jenes C, in der Z-ten Zeile = >?.,_, — l-\-r. Das Schlufselement 

 der ^-ten Zeile in (32 a) wird mit ^,_i bezeichnet. Jedes Glied dieser 

 Summe wird mit jedem der {p — 1)! Produkte der c zu miiltiplizieren sein, 

 welche die zu -r,_j gehörige Teildeterminante von C(;.) enthält. 



Sei zunächst A^_i>jJ — 1. ' Dann kommt in den f oberen Zeilen 

 von C[i) kein Element ('„ und kein c mit negativem Zeiger vor. Jedes 

 Produkt in jener Teildeterminante hat p — 1 von und 1 verschiedene 

 Faktoren, die in Verbindung mit dem aus -S,., stammenden Gliede ein 

 Produkt aus der Entwicklung von C{i) nebst Zahlenfaktor liefern. Somit 

 ist r = r — p + 1 und m = m — p -\- 1, also r — nt = r—m und m — 1 = m —p. 

 Aus dem Beweise von (29) erkennt man, dafs [m;.-f^;-i] aus r—p + 1 Gliedern 

 besteht, deren erstes m;.+p-i, deren letztes ntA+r-i ist, in der l-ttn Zeile 

 wären es m;.,_,^-i+p und in/.i_i-i+r- 



