[39] Symmetrische Funktionen. 253 



Nun werde das Glied aus ^,_i, dessen allgemeiner Teil c,'"' • c^"- c/'= . . . 

 ist, mit + Ci'i Ca'- Cs'' . . . aus der Teildeterminante multipliziert. Im letzteren 

 Produkt ist «i -^ i, + /g + . . . = p—1 und 1 • i^ + 2 • «^ + 3 • 4 + . . . = fj—^i_i + l—r, 

 das Vorzeiclien aber wird durch die Stellung der c in der Determinante 

 bestimmt. Tritt zu dem Glied aus ^",_i ein Faktor c„ hinzu, so ist 

 (ttti-i- 1) • Ca'"a+' : (niA + l)! statt c^^"/. : mj zu setzen; treten aber der Reihe 

 nach ?■;, Faktoren <:,, hinzu, so ist (tn,, + 11 (ni^ + 2) . . . [m^ + *^) • c„^k+h : {m^-i- i^y. 

 statt Cj"'/, : in„ ! zu schreiben. Ist h einer der Zeiger, die in [ ] des betretfenden 

 Gliedes vorkommen, so wird beim Auflösen dieser Klammer einmal in,, vor 

 jenes Produkt treten, sonst m^^ mit anderem Zeiger, der dann bei c,,^ zu 

 beachten ist. Man erkennt nun die Rolle aller c,, mit bestimmtem Zeiger ii 

 innerhalb des betrachteten Gliedes von Q;.). Ihre Anzahl ist in^ + i,, = m,, 

 und HiJ steht im Nenner. Aus der Entwicklung von Cxi^i-i + p,v-p stammen 

 iHa jener c^. Sind sie alle aus den letzten r — p Zeilen entnommen, so wü'ken 

 sie nur bei m^[ des Nenners mit; gehört aber eines von ihnen der Z-ten 

 Zeile von Cq.) an, so findet sich iit;, auch als ein Glied in [] des Zählers. 

 Die anderen i^ Faktoren t\ entstammen der Teildetermiuante, beeinflussen 

 durch ihre Stellung in der Determinante das Vorzeichen des Gliedes und 

 liefen! m,, [m!, — l) . . . {m,, — % + l) als Faktor vor [] des Zählers. Werden 

 in gleicher Art die übrigen Faktoren c,,^ usf berücksichtigt, so ist der Auf- 

 bau des Gliedes samt dem zugehörigen Zahlenfaktor klar erkennbar. Der 

 allgemeine Teil ist Ci"' • Co""- • c/"' . . . , wobei m^ -^ m^ + Wg + . . . ^ m ist und 

 das Gewicht mit dem von {).) übereinstimmt. Das Vorzeichen ist + (—1)'^'", 

 wo das Zeichen -\- oder — dui'ch die Stellung der betreftenden c in den 

 vorderen p — 1 Spalten nach den allgemeinen Determinanteuregeln bestimmt 

 Avird. Der Zahlenfaktor darf mit Einschlufs des Vorzeichens geschrieben 

 Av erden : 



(— ly-m . (>„ _p)[ . j(+ „jj.\ „,,.•, „,^.:, . . .) [/w;,^j_;+^,]J : «1 ! »Wo! m,\ . . . (33) 



Die Einrahmung [ J besagt, dafs nach Auflösung der Klammer [ ] für jedes 

 m^' zu setzen ist m^ini,, — !) . . . {m^ — ^ + l). Der Ausdruck (+ Ht/' m/= . . .) 

 entstand, indem für jedes c^, das aus den vorderen ^ — 1 Spalten stammt, 

 m^ gesetzt und das Vorzeichen durch die Stellung dieser c^ innerhalb der 

 Determinante festgelegt wird. In [ ] wurde das Zeichen m statt nt gesetzt. 

 Dies ist statthaft. Denn bei rechnerischer Auswertung nach der durch den 

 Rahmen [ J bezeichneten Vorschrift kommt jedes m,, aus [ ] nur mit dem 

 Wert m^ — i,, = iUa zur Geltung. Die Änderung triift also nicht die Sache, 

 nur die Form; hier aber ist sie bequem, weil dann ausnahmslos die Regel 



