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Carl Kostka, 



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Man hat also^): 



V-) 



.(— ir 



(«) 





Kr, 



(36> 



15. Aus IIa und (35) folgt: 



t(«) 



- l^i, 2'n2, . . ., Ir»/ 



^^- 

 (^•) 



■1) 



;.„—»» , 



(m— ;i,)! M 



,n 



0-') 



m, I »»2.' . . . nt/l 



C, 



0-) ■ 



(37) 



Die Summe ist über alle Reihen {?.) von gleichem Gewicht mit (a) aus- 

 zudehnen, die höchstens l Zeiger enthalten und deren ;.o nicht < m ist. 

 Der einfachste Fall von (37) ist (20). Dort ist Z = 2; Aq = m + h, 2, = nio^ — h, 

 das Gewicht aTso Xo + 2.i = m^ + 2m., rechts und links übereinstimmend; 

 0£h£m,; {Z') = 2'"^-^ 1"'^+^", also [il^(JJJ = \_m.r'-"\ = m, (m, — 1) . . . {h + 1) 

 und der Zahlenfaktor von C(;.) wird hier genau wie in (20). Den Wert für 

 ri'ii, 2m2 in den c hat Warin g um 1780 angegeben. Seitdem ist er in 

 Büchern und Abhandlungen mehrmals augeführt, nie aber auch nur auf 

 l = 3 ausgedehnt worden, bis endlich jene Gleichung (37) in J. 148 be- 

 wiesen wurde. Mit ihr wird die alte Hauptaufgabe der symmetrischen 

 Funktionen durch eine einzige gut durchsichtige Formel allgemein gelöst, 

 während bei Waring die Potenzsummen als Zwischengröfsen auftreten. 



Für (T, K) entsteht die Lösungsformel durch Verbindung von (25) 

 und (35). Setzt man 



{ß) =, r'"i, 2'"=, . . ., /<'",«, dabei w7i -i- «7-2 + ...m^^^ m, 

 so wird der Faktor von K(_ß) in der Entwicklung von T^c) : 





•1) 



Ao + '• - (»> + 111) 



{m-p)\ JfJ"]J 



(m — A,)! M 



iß) 



Wi ! »12! 



m^\ 



w%! »«2! 



»V' 



(38) 



1) Neben J. Bd. 148, S. 92/98 vgl. für Beweis und Formel auch J. 93, S. 11.5 f. 

 Gleichung (25) dort ist ein Sonderfall von (36) hier und (25 a) der zugehörige Wert von 

 I Jf*-"-* |. In der Tat ist bei zufälliger Durchsicht jener Stelle in J. 93 unser Satz (35) oder 

 (36) in wenigen Minuten entdeckt worden (November 1915), indem plötzlich der Gedanke 

 auftauchte, m^* durch m^ {mu — 1) . . . (m^ — i+i) zu ersetzen. Stichproben bestätigten so- 

 gleich die Richtigkeit, der strenge Beweis fand sich später. Der Schriftleitnng des Journals 

 wurde jene Abhandlung aus Bd. 148 druckfertig überreicht anfangs Juli 1916, erschienen 

 ist sie am Schlufs des Jahres 1917. — Frühere Versuche, jene Bemerkung in J. 93 aus- 

 zubauen, scheiterten, weil die Rechnung gar zu verwickelt wurde; auch schien die Aussicht, 

 zu gutem Ziel zu gelangen, gering im Hinblick auf die Geschichte des Problems. 



