[45] Symmetrische Funktionen. 259 



Die Summe ist über alle Reihen (-1) vom Gewicht der Reihe («) auszudehnen; 

 dasselbe Gewicht hat {ß). Einige Summenglieder werden fast immer ver- 

 schwinden, z. B. wenn [ß) nicht eine der Reihen von //, o bis («') in der 

 Hauptordnuno- ist; auch ist für das Nicht verschwinden eines Gliedes in (38) 

 — oder x;y-x)'' — notwendig, dafs m^Xo<,ao und m ■£ r ^ ßo ist, falls 

 > o,i kein anderes «,, und > p'o kein anderes ß^ ist. Immerhin können auch 

 Glieder verschwinden, bei denen alle diese Bedingungen erfüllt sind.^) Durch 

 Cayleys Symmetriegesetz (S. 12, 13) erhält man nicht etwa eine Probe der 

 Rechnung, sondern die beiden Bruchfaktoren jedes Gliedes werden nur ver- 

 tauscht. 



Die Entwicklung von JM nach Produkten der m,, kann bisweilen 

 erhebliche Rechnung verursachen; jedoch tritt in den meisten Fällen Ver- 

 einfachung ein durcli Verschwinden einer Reihe von Elementen, aufserdem 

 kann oft die Zerlegung einer Determinante in eine Summe von Produkten 

 aus Teildeterminanten mit Vorteil verwertet werden. Als höchsten Grad 



für j\r"(^ hat man ^ bei geradem und '"^_— bei ungeradem ,«, dann nämlich, 



wenn entweder alle Zeiger von {X) den Wert 2 haben oder alle bis auf 

 einen; gerade dann aber ist jene Zerlegung recht vorteilhaft verwendbar. 

 Bisweilen läCst sich M^"^ sogleich in eine gewöhnliche Determinante ver- 

 wandeln, so dafs die Werte der m^ sofort eingesetzt und weiter alle Mittel 

 der Vereinfachung (z. B. Addition von Zeilen oder Spalten), angewandt 

 werden können. Ein Beispiel sei angeführt. Man hat 



falls Xis — -7-1, /j — h, . . ., X.p-i — Xp^i alle '^p — 2 und kj,-\ ^ 2 ist, 

 ferner *• — p'^ X(,—p — 2 — Xp-\. 



(39) 



Dann sind nämlich in den vorderen ^ — i Spalten gleiche Zeiger überhaupt 

 nicht vorhanden, in [m;,,,_i-u^p] kommt aus den vorderen jj — 1 Spalten je 



') Bei G. Junge (S. 3j hat (38) — dort (C, A) genannt, wo C und A unser («) 

 und (/3) sind — anderen Aufbau. Determinanten l?ommen nicht vor. Die Summation schreitet 

 nach „Überzerfällnngen" B fort, deren Teile mit Teilen von C und A durch Doppelgleichungen 

 verbunden sind. Die Vorschrift, ein B, neben dem gleiche B auftreten, mehr als einmal 

 dann und nur dann in der Summe zu setzen, wenn nicht alle jene Doppelgleichungen 

 übereinstimmen, mindert die Durchsichtigkeit der allgemeinen Formel erheblich und wird bei 

 bestimmten Zahlen, falls die Anzahl der B nicht ganz gering ist, umfangreiche Durch- 

 prüfungen erfordern? Solche Bedenken fallen für (38) durchaus fort. 



