268 Carl Kostka, [54] 



a) Sei x["'-' die Summe aller x, welche bei bestimmter Zeigerreihe {X) 

 eine gleiche Anzahl wi von Zeigern a,, haben; z. B. : 



[3] 9, IS 8, 2, 1 7, 3, 1 7, 2! 6, 4, 1 C. 3. 2 , 6"- 1 , ■>■ *. ' , ^''^^ i **. ^ 



"4. 3», 1 ^i, 3», 1 "*" "4, 32, 1 "*" "4, 3«, 1 "■" ^i, 3=. 1 "^ "4, 32, 1 "*" "4. 32, 1 "■" "4, 3=, 1 "^ ''4, 32, 1 "T" "4, 32, 1 "'' "4, 3ä. 1 • 



Dann gilt der Satz: 



''W = (-l)'-""- (Jll) . f-lls ;„ = 1 oder nur X, > 1 ist;] ^^^^ 



aber = 0, falls aufser ^o ^nch Aj > 1 ist. ] 



Der Beweis wird wohl am einfachsten so geführt: Die Zahlen x sind 

 unabhängig von den Werten der t und ebenso der c, unabhängig auch vom 

 Wert von n. Seien die Werte Cj, Ci, . . . c^ alle einander gleich, etwa = c; 

 dann ist für diesen besonderen Fall: 



Ao,/.i,...Är—l (;(,) I (A) I (A) 



Sind sowohl Ao als /j > 1, so stimmen die beiden ersten Zeilen von C(X) 

 genau überein, weil ^ + r— 1 und auch 2, — 1 Zahlen zwischen 1 und ft 

 sind. Also verschwindet dann C(a) und die rechte Seite jener Gleichung 

 identisch für jeden Wert von c, es verschwinden 3c|^|, x^^~ ■' usf , und der 

 zweite Teil von (40) ist erwiesen. Ist nur /lo>l, etwa = A, so hat man: 



C. 



X.,1 



r -l 



= (c-1) . C,,_i = (c— 1)2. Cj,_2 = ... = {€-!)•-' 



indem man bei jeder dieser Determinanten die zweite Zeile von der ersten 

 abzieht. (In diesem Falle ist auch r — 1 = fi — k). Entwickelt man (c — iy~^ 

 nach dem binomischen Satz und vergleicht dann die Koeffizienten der 

 Potenzen von c, so folgt der erste Teil von (40). Also ist z. B. xf^^ ^ =0, 



aber xf^^, = — („l = — 10, wie z. B. durch Prgr. Taf. XI (oder durch einzelne 



Nachrechnung) sich bestätigt; ebenso ^^''-'j, = + 1 J = 28. Die Summe aller 



X in einer Zeile erhält man, wenn man oben c = 1 setzt, also in jedem 

 Fall = 0, wie in Grl. (23), es sei denn, dafs y = 1 und w = 1 ist, also 

 jene Summe = 1. 



b) Die Diskriminante von F{t) == ist das Produkt der Quadrate 

 aller Wurzel differenzen ; sie sei V. Dann ist: 



