IV. 

 Die Zahlen r. Die Aufgaben (C, T); (Ä, C); {K, T). 



18. 



Die Berechnung der Zahl r,^"^ beruht auf Gl. (11); vg-1. S. 13 ff. 

 Der Bau der Determinante C{i) ist durch zwei Zahlreihen gekennzeichnet. 

 In der ersten Zeile bilden die Zeiger der c die Reihe a) X^, X^-\-l, . . ., 

 'u — r — 1. Zieht man von jedem ihrer Glieder das h-tt Glied der Reihe b) 

 0, ;.,i — ^-1 — 1. h — ^2+2, . . ., -lo — Ar-i + r — 1 ab, so erhält man die Zeiger 

 der /;-teu Zeile von C(;.). Wird C(;.^ spaltenweise nach den t differentiiert, 

 so bleibt der Abstieg der Zeiger von Zeile zu Zeile unverändert dui'ch b) 

 bestimmt, es ändert sich aber mit jedem Schritt die Reihe a), aus welcher 

 der Aufstieg der Zeiger von Spalte zu Spalte ersichtlich wird. Zuerst 

 werden in a) je «o Zahlen, dann je «i Zahlen, danach je «2 Zahlen usf. um 1 

 vermindert, wobei alle Ergebnisse fortzulassen sind, bei denen gleiche Zahlen 

 auftreten. Die Ordnung der a ist unwesentlich, weil die Reihenfolge der 

 Differentiationen bei (11) beliebig ist; wir wählen hier absteigende Folge 

 der ff. Das Veifahren ist soweit fortzusetzen, bis aus der Reihe a) die 

 Reihe b) geworden ist; dann stehen nämlich bei jeder Schlufsdeterminante 

 in der Hauptdiagonale nur Elemente Cq, d. h. 1, und links von der Haupt- 

 diagonale nur Nullen ; die Determinante hat also den Wert + 1 . Jene 

 Überführung der Reihe a) in die Reihe b) kann durch das angegebene 

 Verfahren unbedingt erreicht werden, weil der Überschufs der Reihensumme a) 

 über die Reihensumme b) den Wert hat: >?(, + A, + . . . ;.,._i t= ^ = «^ -|- «, -|- . . . a,n-i. 

 Es folgt: ..Die Anzahl der verschiedenen Wege, auf denen durch jenes Ver- 

 fahren die Reihe a) in die Reihe b) übergeführt werden kann, ist gleich 

 Beispiele: 



der Zahl t^"^ 



1. Wie grofs ist rf'^'i'^ (Gewicht 6.) 



b) 







2 



i 





a) 



6 



4 



ö 



Anzahl 



2. 



2 



3 



5 



1 



2. 



1 



2 



5 



1 





1 



3 



4 



1 









Anzahl 







2 



5 



1 



1 



2 



4 



1-L1==2 







3 



4 



1 







2 



4 



1 + 2-Hl =4 



>'0Ta Acta C'IV. Nr. 3. 



Also Tg'., \ = 4. 



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