[59] Symmeti'ische Funktionen. 273 



in der Regel aucli absteigend. Erinnert sei an die Grieichungen (3) 

 und (3 a) (8. 3 n. 9), deren Bestehen für- die Lösbarkeit der Aufgabe not- 

 wendig ist. Die Zahl m muls mindestens = Aq sein. Ist m = io, so enthält 

 die erste Zeile nur Einsen; die gleiche Aufgabe ist dann für r — 1 Zeilen 

 und )n — ?«! Spalten zu lösen, wobei die Zeilensummen ^^i, h, . . ., ^r-i, die 

 Spaltensummen an — 1, «i — 1, • • •, «,„-».,-1 — 1 betragen. Ist .i,,_j = 0, so ist 

 die Aufgabe für ein um 1 kleineres r zu lösen. Kein « darf gröfser als r 

 sein. Ist etwa «o = '', so kann «n fortgelassen und zugleich jedes X um 1 

 vennindert werden; die Aufgabe ist dann für m—1 Spalten zu lösen und 

 für ^Zeilen, da p der X gröfser als 1, die übrigen =^ 1 sind. Ist für die 

 ersten p Zeilen festgesetzt, wie die Einsen und Nullen anzuordnen sind, so 

 steht dies auch für die weiteren r — p Zeilen fest. Die ersten dieser Zeilen 

 müssen nämlich -mit 1. 0, 0, Ü, . . ., die folgenden mit 0, 1, 0, 0, . . ., dann 

 mit 0, 0, 1, 0, . . . usf. beginnen , bis die Spaltensummen a,,, «i , . . . , «„_i 

 en-eicht sind. — Aus der Reihe («), die auch l'"\ 2'"-, . . ., r"^r geschrieben 

 werden kann, wird für unsere Aufgabe nicht jede Zahl a/, einzeln in Betracht 

 kommen, sondern nur die Anzahl der 1, der 2, der 3 usw., d. h. die Werte 

 der Zahlen nii, m-i, . . ., m,.. Unter diesen können aber m^,, j«j,+i, . . ., m,. nicht 

 einzeln die Lösung jener Aufgabe beeinflussen, sondern nur ihre Gesamtheit, 

 die schon durch m, m^, . . ., )«p_i und fi hinreichend gekennzeichnet ist [vgl. (3)]. 

 Denn sobald p oder mehr Einheiten in einer Zahl a stecken, werden dadurch 

 unmittelbar die letzten )• — p Zeilen beeinflufst, sie müssen in der betreffenden 

 Spalte eine bestimmte Anzahl von Einsen aufnehmen. Die Gruppierung in 

 diesen letzten r—p Zeilen ist aber, wie bemerkt, schon durch die An- 

 ordnung in den ersten p Zeilen eindeutig festgelegt, sie kann keine Bedeutung 

 haben für den Wert von t|"|. 



Bestimmende Gröfsen für t."^ sind also neben den Zahlen ^i (oder 

 auch r) und m noch die Werte von X^, A, , . . ., Xj,_-^\ tn^, Wa, . . ., m^_i. Als 

 Funktion dieser Zahlgröfsen mufs die Zahl t,2 sich darstellen lassen. 



Sei 2^ = 1- Die erste Zeile mufs, wie immer, mit 1 beginnen; an 

 ihren übrigen m — 1 Stellen können X^ — 1 Einsen und m — ;i„ Nullen in allen 

 verschiedenen Umstellungen stehen; die Anordnung der Zahlen in den übrigen 

 /■ — 1 Zeilen ist jedesmal eindeutig mitbestimmt. Also: 



_(«) (m — 1)! i'm — 1 



■/., 1 



^-. ^1^-). — a — \)r(.m—x)\ ~ \ x—\) ■ ^^^^ 



» .,!„,. ». 



Ist auch ;. = 1, so ist hiernach auch x oder i^,/=i (vgl. S. 15). Statt 

 ,« — / könnte man in (43) auch r — 1 setzen. 



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