274 Carl Kostka, [6U] 



Für den allgeiueinen Fall soll die g-esuchte Zahl so be^W'ichnet werden: 



(a) l'"!, 2'"2, ..., »■'",- (m — 1 »«I . ni; ... nip^i \ 



In dem Ausdruck rechts sind, abgesehen von //, alle Zahlen enthalten, die 

 für den Wert von r bestimmend sind. Ist -i^_i = 1, so fällt das letzte Paar 

 übereinander stehender Zahlen fort, es bleiben nur^; — 1 solcher Paare stehen. 

 Der Ausdruck vereinfacht sich weiter, wenn ;i^_o="l, Xj,_. = 1 usw\; ist 

 öchliefslich auch ^i = 1 , so liefert er den vorher gefundenen Wert in (43). 

 Wenn h>m, so ist die gesuchte Zahl = 0; bei .^o = ni wird der Ausdruck 



tn — m\ — 1 »»2 ... M*j,_i 



A.\ — 1 X2 1 . . . Äp — 1 — 1 



wobei jetzt ju^ die Anzahl der Zahlen 1. ittg die der Zahlen 2 usf. in der 

 neuen «-Reihe bedeutet. Durch solche Vereinfachung kann man wieder 

 zu einer einfachen Binomialzahl gelangen. Bildet man zur Reihe («) die 

 zugeordnete («'), die in absteigender Ordnung sein möge uq, a/, a-i, . . ., «'„,-_,, 

 so ist m = an', nii = a„' — ß/, nu = rt|' — ß)' usf- Man könnte also auch schreiben: 



t; 



(a) /a'o — 1 «o' — «i' «i' — «2' 



W \^— 1 P-i — 1 h — ^ 

 Wird nun 2o ^^ «0', so wird hieraus 



Dti' — 1 «1' — «2' «2' — «3' ■ • 

 X^ — \ Ji-2—l X-i — i .. 



und in gleicher Art weiter. Dadurch kommt schon in der Bezeichnung 

 die früher (S. 15) gefundene Wahrheit zum Ausdruck, dafs r-'j^ = 1 und t^^'^ 

 dann =0 ist, wenn (a) in der Nebeuorduung hinter {X') steht. In (44) 

 mufs m ^ in, + m, + . . . jw^,_i sein und X^, A,, . . ., Xp_^ absteigend. Ist eine 

 dieser Bedingungen nicht erfüllt, so ist das betreifeude t für unsere Aufgabe 

 Null. Das Gewicht // der Zahl in (44) ist Ao*+ x, + .. . ;i^_i— j;+ r; es mufs 

 auch entweder = 1 • m^ + 2 • )n3+ . . . (jö — 1) • m^_i sein oder aber es müssen 

 eine oder mehrere Zahlen m^, »i^+i, . . . derart sich finden lassen, dafs 

 (i = 1 • 171^ + . . . (j) — 1) wip._i +J5 • Wj, + {p + 1) }»^,+i -f • • • wird. Ist m = nh 

 + m.2 + . . . wi^-i, aber 1 • vi^ + 2 • m^-h . . . {p — 1) m^,_i < Xo + Xi + ... Xp-i, so 

 ist T Null. Auch dann ist t = zu setzen, wenn ein « > r ist (S. 59). 

 Wenn a^^r, so kann «o fortgelassen, zugleich m und jedes / um 1 ver- 

 mindert werden. Solche Vereinfachungen seien ausgeführt, ehe in die weitere 

 Rechnung eingetreten wird. 



