•[61] Symmetrische Funktionen. 27 O 



In (44) tritt eiue doppelte Verwandtschaft der t mit den Biuoniial- 

 zahleu hervor. Dadurch wird man zu dem Versuch geführt, charakteristische 

 Gleichungen für diese verallgemeinerten figurierten Zahlen zu suchen, aus 

 denen ihr Wert und ihr Bau zu erkennen ist, wie bei den Binomialzahlen 



aus der Grleichung ( , ) = ( , ) + ( ; i ) liebst den Grenzbedingungen ( j ) = ; 



") = !; I 1 = 1. Der Versuch gelingt. Bei der Herleitung der Gleichungen 



wird die Form (44) zagrunde gelegt, bei den Schlufsformeln aber in der 

 Regel die Form: 



in >»! m., . . . Wj,_i\ _ 



•^1) ''i /2 ■ ■ ■ ■*?— V 



r)iese Zahl ist also eine Funktion von 2p ganzen positiven Zahlen, von 

 denen einzelne, insbesondere m^, . . . vi^,_i, auch sein können. Die x sind 

 stets absteigend geordnet; z verschwindet, sobald ein X kleiner ist als das 



nächstfolgende. Ferner ist m^ H- nu + . . . )n^,_i ^ m + 1. Ist wi^ + m^ + . . . w^,_i 

 = >» ^ 1 und 1 • nii + 2 • m^ -r . . . (jJ — 1") • »i^-i < ^u + /| + • • • Xp_i -yp, so ist 

 z = (). Ferner ^ ^ 0, wenn in < P.o; aufserdem: 



(44 b) 



20. a) Sei »ii > 0. In allen Eechtecksformen zur Bestimmung von 

 T (Vgl. S. 58) streiche man die letzte Spalte. Sie enthielt nur eine 1, die 

 in einer der ersten p Zeilen oder in der allerletzten (der r-ten) Zeile stand. 

 Daher sofort: 



/?«)«,... wip_i\ /m— 1 »i, — 1 W2 ...»n^_i\ , (^i i ni—\ mi — l m.j ... »w^-i \ 



\ P-o Xi ... X.p-^^ \ Xo 2| X-2 ■ ■ ■ Xp-il _ \ Xo — Jci) Xi—Jcj Xi—k-i ... A;,_i— 7c^_i/ 



WO in der Summe »S' jedes Ä^, nur oder 1 sein, die Summe 



IC = «Q -|- ft^ -)- . . . ft;)_l 



nur den Wert 1 haben darf. Das erste Glied rechts verschwindet, wenn 

 tili -t- m^ -r . . . !n^,_i = m -r 1 und zugleich 1 • wji + 2 • Wj + . . . (j9 — 1) • TOp_i 

 = ;.o + /| — ■ -. ^.p_i +iJ ist. Die Summe *S' hat im allgemeinen ]) Glieder; 

 von ihnen verschwindet jedes, bei dem von zwei gleichen ^ das voran- 

 stehende um 1 vermindert wird. Beispiele für (45): 





m 



W, .... «i^_i \ 



ini — nii 



»«2 ... . wv-i 





\m 



^1 • • • Xp^i) 



"l ^. 



A2 • • • Xp^i 



m 



»W| . 



. . «Jp_o mj,_x 



fni M«i . 



■ • mp^ 



;.n 



X, . 



. . A;,-^ ] - 



\Xt) A, . 



.. XpJ- 



