[63] Symmetrische Funktionen. 277 



gröfser als 1 . so mliiste C'"'~^^ durch die q Diiferentiationen nach t„, ver- 

 schwinden, weil kein c mehr als einmal nach t„, differentiiert werden kann, 

 ohne zu verschwinden. Also mufs die Diagonalreihe jedes brauchbaren C'""" 

 das Element o/™~'^ genau p-mal, Co*'"~", d. h. 1, (»•— ())-raal enthalten. Die 

 Q in Betracht kommenden Spalten, welche jene Elemente c/"""" enthalten, 

 können in beliebiger Reihenfolge nach t„, differentiiert werden, daher tritt 

 der Faktor q I vor das Ergebnis und hebt sich gegen q ! des Nenners. Jedes 

 brauchbare C^"'"" erhält durch die letzte Differentiation und das Nullsetzen 

 aller t den Wert 1 und die Summe dieser Einheiten liefert t|"^. Unter den 

 Elementen f/"'~" können einige nur durch Nullsetzen der t, ohne jede 

 Differentiation, entstanden sein, die übrigen aus c^, wo h > 1, durch Diffe- 

 rentiieren nach f,, ... t„_i und Nullsetzen dieser t. Erstere seien mit c/""" 

 bezeichnet, sie stehen wegen der absteigenden Ordnung von {X) nur in den 

 letzten r — p Stellen der Hauptdiagonale von Cq.). Wir, teilen die brauch- 

 baren C"""'' in zwei Klassen, je nachdem das letzte Element der Haupt- 

 diagonale Oi''""'^ ist oder nicht. In der ersten Klasse sind nach Ausführung 

 des letzten Schrittes ebensoviel Glieder C""* vom Werte 1 vorhanden, wie 

 sie entstanden Avären, wenn man C unter Fortlassung der letzten Spalte 

 imd Zeile «o-mal nach t^, «i-mal nach t, usf., zuletzt aber nur (p — l)-mal 

 nach t„, differentiiert itnd alle ^ = gesetzt hätte. Hier ist also statt eines 

 Exponenten q der andere q — 1 eingetreten , oder statt in^ ist m^ — 1 , statt 

 mo-\ ist in^-i — 1 zu setzen; aber die Reihe .^o, -^i) • • • ^p-i ist unverändert, 

 nur das letzte X vom Wert 1 ist ausgefallen. Das zweite Glied links in 

 (4:6) gibt also die Anzahl aller Glieder jener ersten Klasse. Steht dagegen 

 ;.,v,~i, jjjp]^|; a^g letztes Glied der Hauptdiagonale, so könnte wohl noch 

 '■ft""~" == 1 dort stehen, aber einfach fortgelassen werden; sonst nur Ci""~'*, 

 ohne dafs ein c/"""" irgendwo vorhanden ist. In diesem Falle stellen wir 

 von den brauchbaren O'"""" alle die zu einer Untergruppe zusammen, bei 

 denen dieselben Spalten jene g Gröfsen o/"'~' enthalten. Aus jeder solchen 

 Untergruppe entsteht nach Ausführung des letzten Schrittes eine der in (46) 

 rechts stehenden Zahlen. — Damit ist (46) restlos bewiesen. 

 Beispiele für (46): 



5 2 3 Ov /5 3 2 0\ /4 2 2 0\ /4 2 2 0\ /4 2 2 



2 2 11/ \2 2 1 1/ \1 1 1 l/'^l2 1 1 oj^\2 2 



d. h. 57 =24^8 + 16^9: 



,6 4 I 2i /6 4 2 1\ /5 4 1 1 ^ /5 4 1 1\ /5 4 1 1 



l) ' 



U 2 2 2 1/ \3 2 2 2 1/ ' \3 1 1 1 0/ \2 2 1 1 0/^\2 1 1 1 1 



d.h. 48 = 0-18-18 + 12. 



