[65] Symmeti'ische Funktionen. 279 



d) Die Gleichimgsgruppe (46) könnte auch dnrch eine andere ersetzt 

 werden. Wie man m^ auf »i,j — 1 herabminderte, kann mau in dem Glied 

 von (461 das vor )«o — 1 die Zahl m^-\ + l hat, letztere auf m^-i zurück- 

 führen, Avodurch wieder an einer Stelle Hip_2 + 1 auftritt. Gleiches Vor- 

 schreiten liefert zuletzt: 



im — 1 Hi| .... niQ—i mij — 1 tHj)+i ... m^-i 



ini »«1 ... >«^_i\ (riini — 1 »;, ... wip-i m/j — l »hj)+i ... m^-i \ 



\ Xq 2| . . . P.p-i' ,_ \Ao — A-Q 2,- — /;-| ... 2^ — fcp ... P.p_i — Ä'y_i/ ' 



WO die Summe /,• := Äu — Ai + . . . ä:^_i alle Werte von Ü bis q erhalten soll, 

 jedes einzelne k,, nur die Werte oder 1.') 



21. Aus [4b), (46), [il), — wobei statt (46) auch (48) eintreten 

 kann, — nebst den Grenzbedingungeu (S. 59 u. 61) läfst jede Zahl r auf 

 mehrfache Art sich auswerten. Folgendes sei besonders hervorgehoben. 



a) Durch wiederholte Anwendung von (47) folgt: 



Wo X, ... Xp^^l ^ ^bi \;L, — h k, — h ... X,^.2 — h X^_i — h /■ ^ ' 



Falls X^_i > [itip], setze man hier l = [fUj,], so ist sofort ein beliebiges 2 als 

 Summe solcher ? dargestellt, für die m + 1 = Wj + iWa + . . . JHp_i ist, oder 

 auch ein beliebiges r als Summe solcher r, die keinen oberen Zeiger >^ — 1 

 haben. Ist aber ;i^_, <[Wp], so setze man l=Xp_i, wodurch mindestens 

 ein Zeiger unten verschwindet, also p sich verkleinert. Behandelt man 

 alle Glieder der Summe in gleicher Art nach (49) oder (47) weiter, so 

 erreicht man stets das gleiche Ziel, wie vorhin; höchstens könnten einzelne 

 Glieder unmittelbar in Binomialzahlen übergehen. Sodann kann man durch 

 i46) einen Zeiger m^ nach dem anderen, mit dem letzten beginnend, zum 

 Verschwinden bringen, mit Ausnahme von m^. Zuletzt wird so die iir- 

 s])rüngliche i-Zahl dargestellt als Summe von Zahlen der Form: 



im m + 1 ... \ 



von denen einige auch Binomialzahlen sein könnten. Oder auch: jedes 

 T^"^ läfst sich durch (47j und (46) auf eine Summe von Zahlen z^' zurück- 

 führen, diese natürlich mit verschiedenem Gewicht. Für solche Zahlformen 

 wird nachher folgende einfache Formel bewiesen: 



1) Die Formeln (4.5j, (46j, (47), (48) sind in anderer Anordnung und durch andere 

 .Schlnfsreihen bewiesen in J. 93, S. 99 — 102. 



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