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Symmetrische Funktionen. 



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und jedes T(^ß) sei in seine einzelnen Glieder aufgelöst. Diese sind mit c;.„ 



zu multiplizieren, d.h. mit ('") Siimmanden, deren jeder ein Produkt ist 



von /o Faktoren , die aus f, , ... t„ entnommen und alle verschieden sind. 

 Um zu erkennen. Avie oft dabei aus Reihen [ß) die bestimmte Reihe («) 

 entstehen kann, subtrahiere man von den Zahlen oq, «i, ... «„,_i andere 

 )n Zahlen, von denen /.q den Wert 1 und w; — ;.;, den Wert haben. Sind 

 dabei /? Zahlen vom Wert 1 von Zahlen «,, die den Wert 1 haben, abgezogen, 

 so hat die entstandene Reihe [ß] nur m = m — h nicht verschwindende 



Zahlen; es können dabei ('"') verschiedene Zusammenstellungen von Zahlen 



c zum Verschwinden gebracht sein und die übrigen /o — h Einsen können 



unter den m — /»i Zahlen «, die gröfser als 1 sind, auf ( . M verschiedene 



Arten gesetzt werden. I)aher erhält man aus jedem positiven Glied der 



/»Hi'v /m — >«i \ /»» — 1 — h 



obiffen Gleichung für 



Das negative Glied liefert ebenso den Beitrag 

 Also, da /' die Werte von bis /o haben kann 



^ "^ '"'"^^ ^ ■ '■"' — t. \ j, I \;i_^_i_j,l ^ ^_^^ 





im- 

 \ /o - 



•1 nii 



•1 /,- 



h=L. 



..)=S 



[ 1> 



m — «i| 



\ m — 1 — h 



m — M(i 



\ /m — 1 — h 



).,-\- 



- hl { ;., — 1 



(53) 



Ist ;.(, > »ij, so endet die Summation von selbst bei It = iHi. Bei den 

 negativen Gliedern AAird die Summation schon bei ä = /^ — l endigen. 



Für Binomialzahlen gilt [auch Sonderfall von (49), wenn z. B. 

 m = ;.o = ;., = . . . ;.^_., und ?»i = m^ = . . . m^_i = 0, auch m + l für m steht]: 



Daher: 



i'7n -\- l \ 



m \ m -f- i\ 



/.—hl "" l ;. j 



2/\h) \).,-h ] \ ;,-l j ^lä' 2J" [ h 1 U-A J i h, I \).,-\-h. 



Hier ersetze man die Binomialzahlen durch ihren Ausdruck in Fakultäten, 

 küi'ze den Bruch durch (/q — /?)! und erweitere ihn mit (m — m^— h^\, so ist 

 die Doppelsumme 



