[73] Symmetrische Funktionen. 287 



Bei beliebigem p liüst der analytische Ausdruck für t sich ähnlich 

 fiiulen in Form einer mehrfachen Summe. Man entwickle C{x), wie in (27), 

 nach den Elementen der ersten Spalte. Das erste Griied rechts ist 

 Cyio • C;.„ /.„/... A,._i , die anderen sind von gleichem Bau. Die Summe, die 

 höchstens p Glieder hat, bricht ab, sobald der voransteheude Faktor c„ 

 negativen Zeiger hat. Bei C(i) überschreiten p Zeiger den Wert 1, auf der 

 rechten Seite bei jedem C nur p — 1 Zeiger und für solche C sei der ana- 

 lytische Ausdruck der Faktoren von T(a) schon gefunden, wie er ja in der 

 Tat für p = 2 schon bekannt ist. Für das erste Glied rechts sei z. B. 



wo die Summe über alle verschiedenen Reihen {ß) vom Gewicht n — /o aus- 

 zudehnen ist. Man subtrahiere von einer festen Reihe («) = 1"'\ 2"'=,- . . . r"',- 

 alle aus /o Einheiten und m — /.o Nullen in den verschiedenen Folgen ge- 

 bildeten Zahlenreihen, so liefert jedes der (. j Ergebnisse eine Reihe (/S), die 

 bei der Bildung von t|"^ mitwirken kann. Sind dabei /<j. Einheiten von den 

 »«i Zahlen der Reihe i«) abgezogen, die den Wert ä: haben, so hat die 

 Reihe (jS), die in Betracht kommt, m — \ nicht verschwindende Zahlen, 

 davon m^ — ]i^-r-](.,_ solche, die = 1 sind, jh, — lu + h^ solche, die = 2 sind, 

 usf. Also ist der Faktor dieses T(,,>): 



/ni — /l| — 1 nii — /'j — h, . . . nip—o — hp—'i + hp^i 



' /i — 1 ;.. - 1 ... ;.,,_! — 1 



Weil aber die Ih- Einheiten in beliebiger Folge auf die »h. Zahlen vom Wert k 

 verteilt sein konnten und weil auf die anderen ni — jHi — . . . )h^_i Zahlen 

 der Reihe («), die gröfser als p — l sind, noch ;.„ — /«i — /«.j — . . . /ij,_i Ein- 

 ^heiten in beliebiger Folge sich verteilen können, wird der Faktor von ?(„) 

 im betrachteten Produkt c;„ • C;.,, ;..,,... ;.,-i den Wert haben: 



^h, im — m^ — . . . mp_{\ /»t, \ /»J2\ /Wp_i 



I III fl,[ 



ni — hl — 1 JWi — h^ + Jh . ■ . nip^i — ''71-2 + Jtp-i 



1 /.,— 1 ... ;.^-i — 1 



Dann aber wird schlielslich durch Berücksichtigixng der übrigen Produkte 

 r ' G der Faktor von T(a) in der Entwicklung von C(a) : 



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