[75] Symmetrische Funktionen. 289 



Ist nnu (50) für den Fall bewiesen, dals p — 1 untere Zeiger gröfser 

 als 1 sind (wie es ja für zwei Zeiger geschehen ist), so wird in diesem 

 Ausdruck das i^/^-fD-te Glied: 



, ;, m ! yl, ' {}.>, — /< + 1) (/;, — h + 2)... (/, — h+p^ 2) (/, — h + r—1) 

 (r-p)l JJ (/.^ — h+p — 2y.a„ — h + r — l) 



ft = 



Dabei bedeutet J,, diejenige Teildeterminante (p — l)-ten Grades von A, 

 welche als Faktor von (/^ — /*)^~' aufüitt, wenn J nach den Elementen der 

 ersten Spalte entwickelt wird. Statt ,« in (50) ist m — h-^h, statt ^ ist^ — 1, 



statt r ist r —1 -gesetzt und der Faktor ( . '^ ] ist durch m ! : (X^—h) ! {m — A,, + h) ! 



ersetzt worden. Wird hier im Zähler das hinter J,, stehende Produkt nach 

 Potenzen von /.^ — h entwickelt, so führt nur (/,, — ■Jiy~^ bei der Summation 

 aller p Glieder zu einer nicht verschwindenden Determinante, nämlich zu J, 

 so dafs dann (50) auch für den Fall bewiesen ist, dafs p untere Zeiger 

 gröfser als 1 sind. Also ist (50) allgemein richtig, weil es für p = 2 

 richtig war. 



•b) In (54) sei »h, = »ij = . . . = )h^_i =r-. Q , so mufs auch h^ = h, 

 ^ . . . /?p_i = sein. .Dann ist in der ^'-Form: 



/»H-|-l\ itn ... \ /m+l\ j iii ... \ 



l;.o+iJ V;., ;.o ... ;.;,_J~l /i ' l;.o+i ;-2 h ■■■ ip-J 



I m+ 1\ I ni ... \ 



"U— i) \;.o + i ;., + 1 /., ... :>.p-J '" 



^ h.,^,—p+2l l/o + i ;., + ! ... Zp-2 + 



Wäre nun, falls p — 1 untere Zeiger > 1 sind, 



r)H ... 1 /w*4-J> — 2\ /m+p — 3\ . / m \ 



' ;.o /, /., ... /.p-J ~~ ' /-f-i3 — 2,) l;.+_2j_2J ■■• l;.+_p — 2Ji' 



einer Determinante (ji — Ij-ten Grades in bekannter Abkürzung, ■\\de es für 

 zwei untere Zeiger > 1 (hier also p = 3) zuüitft (S. 72), so würde die vor- 

 letzte Gleichung liefern: 



itn 





itn ...0 \ /»i+li j-m ■ 



jtn ...0 >j jm-\-l\^ j>n-\-p — 2'^ i>n + p — 3, / m 



~ l+p—l) ■■■ \?.+p 



I m \ im-\- l\ / m 



Durch wiederholte Anwendung der Gleichung ( - ) = ( - 1^ J — ( - i i ) folgt aber: 



g;)=i;* <-■'•(, 



_ |ij — 2v /m+p — l — h 



: + ll A^'^ '' [ h j \ Ä + p — l 



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