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'•Multipliziert mau also iu der letzten Determiuaute die Spalten von der 

 zweiten bis zur vorletzten der Reihe nach mit + ( , ) , — [ ^ ) > + (^ q )' ■ ■ • 

 und addiert die Produkte zur ersten Spalte, so ^^'ird 



/ni ... \ i'm+p — 1\ im+p — 2\ /m+p — 3\ / iii \ 



';.o ;.i ... ;.;,_i/ ~ \/.+p—il 1;.+^;— i) \k+p—ii '" 1;.+^^ — ij ' 



also dasselbe Erg-ebnis für j) untere Zeiger > 1 , wie es vorhin bei 2) — l 

 unteren Zeigern > 1 angenommen wurde. Hier setze man Fakultäten statt 

 der Binomialzahlen und ziehe aus den Spalten der Reihe nach die Faktoren 

 des Zählers vor: (»i+jj — 1)!, {ni+p — 2)\, . . ., m\; ferner aus den Zeilen 

 der Reihe nach die Faktoren des Nenners: 



(m-;.o)!(;.o+iJ — 1)!, (w-;.i + l)!(;.i+j3-2)!, ..., (,« — /^_i+i) — l)!/,,_i!. 



Dann bleibt aufser den Faktoren 



/i/ (m + h) ! : (m — h + 70 1 {h -h+p — iy. 







noch die Determinante p-ten Grades als Faktor des Zählers: 



|1 m — ?. (m- — X) (m — 1 — ?.) ... {m — 1) {m — 1 — X) ... (m — p+l — 2)'. 



Wii'd hier jedes Element nach Potenzen von ( — /) entwickelt, also von 

 ( — ^ + /?) in der (/? + l)-ten Zeile, so bleibt bei geeigneter und leicht über- 

 sichtlicher Vereinigung der Spalten nur übrig: 



Diese Determinante aber ist mit A identisch und (51 a) ist damit vollständig 

 bewiesen.^) 



24. Einige besondere Beziehungen der r sollen noch erwähnt werden. 

 Sie können gelegentlich zur Abkürzung der Rechnung oder zur Nach- 

 prüfung dienen. 



a) In einem der Rechtecksbilder, durch welche t|^J bestimmt wird 

 (s. S. 58), ersetze man jede durch eine 1, jede 1 durch eine 0, kehre 



1) J. 93 ist S. 109 ff. derselbe Beweis für (50) und (51) geführt worden; aufserdem 

 aber S. 104 ff. ein Beweis, der nur auf die Grundgleichungen (45), (46), (47) und auf die 

 Gfrenzbedingungen sich stützt. 



