[81] Carl Kostka, Symmetrische Funktionen. 295 



Dnrdi Entwickluiii^- v(in C['- nach den Elementen der ersten Zeile folgt: 



C,. — C, • Cr^i - C, . Cr--, — ... + (— 1)'-' • tV-1 • Ci + (—!)'•• r, = 0. ^ (59) 



Die Gleicluing- liat r^l Grlieder, so lange y^n ist; falls aber r>n, hat 

 sie immer )i — 1 (Tlieder. weil jedes c verschwindet, dessen Zeiger > n. Die 

 ersten ii Gleichungen (59) bestehen unverändert, wenn man jedes c,, mit c,, 

 vertauscht. Daher niufs auch für r < n richtig sein: 



c = S,'-, (60) 



wenn mit üy eine Determinante r-ten Grades bezeichnet wird, die genau 

 so aus lien C;, gebildet ist, wie Cv aus den C/,. Aber (60) bleibt auch für 

 r > )i richtig. Es ist nämlich Ci = Ci und c„ = t\,, jedes c mit negativem 

 Zeiger = 0; dagegen ist, abweichend von c, kein c mit positivem Zeiger = 0, 

 sondern jedes c„^,, ist aus (59) zu bestimmen. Ist nun in (60) r > n , so 

 multipliziere man die Spalten in (S^i-- von der vorletzten an nach links vor- 

 schreitend, mit — Ci, -t- C.2, — Cg usf. und addiere die Produkte zur letzten 

 Spalte , so Averden hier alle Elemente = und c,. für jedes r > w wird 

 auch nach (60) Null. 



Aus |59) und (60) kann man folgern: 



a) „Die Gröfsen c,, c., ... c„ bilden ein Fundamentalsystem sym- 

 metrischer Funktionen der t, ebenso wie c„ c,, . . . c„. Ist die 

 symmetrische Funktion der t ganz und gauzzahlig, so ist auch 

 ihr Ausdruck in den c ganz und ganzzahlig." "^ (61) 



b) „Ist /■ eine rationale P'unktion und f {<:■,, c.,, . .. c„) = (p (Ci, c^, . . . c„), 

 so ist auch y rational und überdies /(Ci, t,, ... c,,) = <p (c,, c,, . . . e„). 

 Ist f ganz und ganzzahlig, so auch r/?." 



26. Wh- bilden 



eine Determinante y-ten Grades, deren h-te Zeile aus der hingeschriebeneu 

 dadurch entsteht, dafs /.,,_i — h +1 an Stelle von / tritt. Auch hier ist kein 

 c mit positivem Zeiger Null, anders als bei C(H). Es gilt der Satz'): 



„Jedes a ist gleich dem C mit zugeordneter Zeigerreihe" : (£(;.) = C{X')- i^^) 



'j Man hätte den Satz entnehmen können durch Vergleich von Jucobis Bestimmung 

 von I) : A \n Grelle J. Bd. 22, S. 371 mit derjenigen von Naegelsbach, Prgr. Zweibrücken 1871, 

 S. VII. Doch liat Naegelsbach oder sonst jemand den Schlufs nicht gezogen. Der Satz findet 

 sich zuerst J. 1.32, S. 161, natürlicli, wie hier, mit direktem Beweis durch Umformung. 



N'OTa Acta CIV. Nr. s. 39 



