296 Carl Kostka, |<S2] 



Zum Beweise verwandle man C£(/.) in eine Determinante vom Grad 

 ;.„-/•, ohne den Wert zu ändern. Jede Zeile von (£(/) verläng-ere man 

 nach links hin um ;.o Elemente c,„ so dals die Zeiger von Spalte zu Spalte 

 um 1 kleiner werden; dann steht in der //-ten Zeile das Element o./, _i-/t-/.„+i 

 am Anfang-. Oben werden ;.o Zeilen \'oraugestellt, die 1 an jeder Stelle 

 der Hauptdiagonale, sonst nur Nullen enthalten. Die Spalten dieser Determi- 

 nante werden ebenso wie die Zeilen der Reihe nach mit ( — r)'\ i-li', (— 1 )'^, 

 ...( — iy-o+'--i multipliziert, so dafs die Elemente der Hauptdiagonale alle 

 positiv sind, aber neben uud untereinandei' immer Pjlemente mit abwechselnden 

 Vorzeichen stehen, die Determinante selbst den Wert nicht ändert. Von 

 rechts beginnend werden die Spalten nacheinander durch (59) umgeformt. 

 In den oberen ;.o Zeilen stehen dann nur Elemente c, und zwar in der h-ien 

 Zeile von c-h+i bis ca„+)-/i, die Zeiger von Spalte zu Spalte um 1 steigend. 

 In jeder der letzten r Zeilen hat man einmal +1 oder — 1. dort nämlich, 

 wo urspriinglich Co stand, sonst nur Nullen. Und zwar steht in der (;.o -f h)- 

 ten Zeile das einzige nicht verschwindende Element in der Uo — //,-i + /;)-ten 

 Spalte, weil das erste Element dieser Zeile vorher den Zeiger Ä;,_i — h — Ao + 1 

 hatte; der Wert dieses nicht verschwindenden Elements (ursprünglich Co = 1) 

 ist jetzt (— l)(^-o+/«-i) + (>-o-/-'.-i+'«-i) =z (— ly.A-i. Nun versetze man durch 

 Verschiebung von Spalten jedes dieser nicht verschwindenden Elemente in 

 die Hauptdiagonale, von rechts her beginnend; das soeben erwähnte Element 

 kommt dabei aus der (Ao — l/,-i + /?)-ten in die (^-r/()-te Spalte durch ?.,,_i 

 Vertauschungen und bekommt den Wert ( — l)-^-^'-i = + 1. Dann sind in 

 der grofsen Determinante unten links in einem Rechteck von r Zeilen und 

 .^0 Spalten nur Nullen. Rechts davon steht eine Determinante r-ten Grades, 

 die in der Hauptdiagonale sämtliche Elemente = -|- 1 , sonst nur Nullen, 

 also den Wert = 1 hat. Links oben steht eine Determinante Ao-ten Grades, 

 die nur Elemente c enthält; und zwar fallen die Zeiger dieser c von Zeile 

 zu Zeile um 1; von Spalte zu Spalte steigen sie, jedoch nicht immer um 1. 

 Dreht man hier die Eolge der Zeilen sowohl, wie die der Spalten um, so 

 dafs die letzte Zeile zur ersten Spalte, die letzte Spalte zur erstell Zeile 

 wird, so sieht mau eine Determinante vom Bau der C vor sich, und zwar 

 genau C(;.'). Um dies klar zu erkennen, prüfen wir genauer die Form der 

 grofsen Determinante, die sie nach Anwendung von (59) vor dem Ver- 

 schieben der Spalten erhalten hat. Diejenigen Spalten, die in den unteren 

 r Zeilen nicht nur Nullen , sondern je einmal auch — 1 oder — 1 haben, 

 besitzen die Ordnungszahlen 



1, 2-\- Xo — /i, 3 -^ ;.o — ;.2, ■ . ■-, »•— 1 + i.,1 — ;.,._2, *■ -f ;io — ^r-i ; 



