j83] Symmgtrische Punktionen. 297 



ihre Anzahl ist luitürlich r. Zwischen je zwei dieser Spalten sind der 

 Reihe nach /„ — ;.i, :>.^ — X.,_, . . ., ;.,,._.^ — Z,._^ und hinter der letzten noch 

 ;i,._] Spalten, die in den unteren r Zeilen nur Nullen haben. (Im ganzen 

 sind dies r -f i^/o — ^-i) + [^i — äo) + . . . + [X,._., — ^^„i) + A,._ i = r + Xo Spalten, 

 wie es sein soll."! In der letzten Spalte jener grofsen Determinante stehen 

 oben die Elemente c;.„-j-,_i, f/„+,— 2, ••-, c,-, in der vorletzten, falls ^,._i > 1, 

 stehen c;,,,_|_,_2. c;.„+,— 3, . . ., O+b t^i> c,_i, und in der ganzen Grruppe von kr-i 

 -Spalten, die hinter der (r+-'-o — A,._i)-ten Spalte stehen, nehmen die Zeiger 

 von Spalte zu Spalte nach links hin um 1 ab. Werden diese A,._i Spalten 

 durch Verschieben zu Schlufsspalten der Determinante C, so findet sich in 

 der Hauptdiagonale von C der Zeiger r genau i,,_i-mal. Ebenso führt aus 

 der Gruppe von X,._., — ?.,._-^ Spalten zwischen der (r — l + ;.o — /'.,._2)-ten und 

 der (r — /n — /.,._i'i-ten Spalte jede zum Zeiger r — 1 in der Hauptdiagonale usf. 

 So wird nach Umkehrung der Folge von Zeilen und Spalten in jenem C 

 sich in der Tat ergeben: 



als Wert von (S.(a), weil jene grofse Determinante in das Produkt von C(A') 

 mit einer Determinante r-ten Grades vom Wert 1 zerfällt. 



27. Zunächst wird jetzt angenommen, dafs n nicht kleiner ist als 

 das Gewicht // der gerade betrachteten Funktion. Jedes ^ ist nach Pro- 

 dukten ,^ der c durch Determinantenregeln zu entwickeln, wie C nach den Ä'. 

 Nach 1^63) ist C(A) durch die .ft ebenso auszudrücken wie (7(;.'j durch die K. 

 Man setze ferner (Cq ist 1): 



5?(t)=2(-l)"0,-t"-" = //(t-t„); (64) 



man bilde die Funktionstypen % aus t,, . . . t„, wie T aus den t. Die (£, ß, X 

 sind symmetrische Funktionen der t; denn sie sind rational in den c und 

 diese symmetrisch in den f. Der Zusammenhang zwischen ii und % ist 

 derselbe, wie zwischen- C und T; also entwickelt sich Cqj) nach den X 

 genau so, wie C\i) nach den T. Zwischen den Aufgaben {T, C) und (C, T), 

 ebenso zwischen (K, C) und [C, K) wurde der Übergang durch lineare 

 Gleichungen vermittelt, und nur zwei Zahlenarten je^"j und t^"| kamen bei 

 allen vier Aufgaben in Betracht; vgl. S. 24 u. 25. Dieselben Zahlformen 

 bestimmen auch die Beziehungen zwischen den C und ^ sowie zwischen 

 den C und %, dann auch zwischen C£ und den K, T, §t, X. Man hat folgende 

 Hauptgleichungen, zusammen mit denen von S. 26: 



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