[8/] Symmetrische Funktionen. 301 



Über die Funktionen F (t) und ^ (t) sei noch einig-es bemerkt. Der 

 Oleichung F (x) = wird hier die andere % (x) = zug-eordnet, indem aus 

 den Koeffizienten von F diejenigen von % nach (59) berechnet werden. 

 Von % gelangt man wieder zu F aus (60) oder auch durch (59). Z. B. sind 



x'> + 3x= — 6x^ + 7 x^ + bx:'-— 2x^1 =0 



und 



.rs + 3.r5 + 15^1 + 70a;3 + 316a;2 4- 1456a; -L 6674 = 



in diesem Sinne einander gegenseitig zugeordnet. Eine Grleichuug kann 

 sich selbst zugeordnet sein. Dann mufs (,, = c,, sein für alle Werte des li 

 von 1 bis //. Aus (59) ist zu ersehen: Für jedes c mit ungeradem Zeiger 

 kann der Wert nach Belieben gewählt werden. Bei geradem Zeiger erhält mau: 



f-2/, = CfC2,-i — c-i-c-2k--i + • • ■ (— l)"--C/,_i.C/,+i + (—!)''-'• ^C/,2 (^ = 1, 2, . . . < '^ 



Z. B. ist 



a-'i-r2«,rs-i-2a2a;< + 2fc./;3 + (4«?/ — 2ai)a;2 + 2(:Z« + 4«^ — S«'/; + 4«fZ+ 2&2 = o 



sich selbst zugeordnet. — Zwischen den Wurzeln von zwei derart zugeordneten 

 Gleichungen bestehen die folgenden Beziehungen: Bedeuten s^ und j„ die 

 .u-te Potenzsumme der Wurzeln von F (x) ^^ und %{x)^=^0, so bestehen 

 die Gleichungen 



s„ = (— 1 )'«-' • \f, für // = 1, 2, . . . M. (66) 



Beweis'): Im Unterabschnitt 12 d), Beispiel 4., S. 37, ist hervorgehoben: 

 Aus (63) folgt dann: 



s^, = ®„ - e._,^ , + e^._2, P - ... (-if -■'' • ^2, X"-'- + (-i>"-i • «1.« • 



Hechts steht, wie man sieht, nichts anderes als ( — 1)"-' • \n. 



AVir verzichten darauf, die hier auftauchenden Fragen weiter zu 

 A'erfolgen. 



>) Einen zweiten Beweis findet man J. 132, S. 166, 



