[5] Untersuchungen über gleichflächige Polyeder. 47 



der Gestalten zu überblicken. In seinem zusammenfassenden Werke ver- 

 mehrt Brückner^) die Reihe der von Hefs angeführten Körper noch um 

 mehrere; wesentliche Fortschritte erreicht er nur inbezug auf die spezielleren, 

 zugleich gleichtlächigen und gleicheckigen Polyeder, die er neuerdings ein- 

 gehend in einer Monographie^) behandelt hat. Mit Recht spricht es daher 

 Brückner in dem Vorwort seines Werkes „Vielecke und Vielflache" aus, 

 dafs die vollständige Bestimmung der gleicheckigen und der gleichflächigen 

 Polyeder „ein noch ungelöstes Problem" ist, und wenn er auch dabei zu- 

 nächst nur einen gewissen Teil davon im Auge hat, so besitzen seine Worte 

 ohne Zweifel auch ganz allgemeine Geltung. — 



In den folgenden Ausführungen soll nunmehr versucht werden, 

 wenigstens über die gleichflächigen Polyeder mit direkt-sym- 

 metrischen Kanten einige Klarheit zu verschaffen. Es sollen jedoch 

 vorläufig nur die Polyeder des kubischen Systems untersucht werden, 

 d. h., nach der Hefs'schen Ausdrucksweise, die Körper, welche in die zweite 

 Hauptklasse, erste Ordnung gehören.^) Für alle anderen Ordnungen läfst 

 sich die Betrachtung Schritt für Schritt ganz genau in gleicher Weise 

 durchführen. Ferner gilt natürlich alles, was für die gleichflächigen Polyeder 

 abgeleitet wird, in dualer Übertragung unmittelbar für die polarreziproken 

 gleicheckigen Körper. Die genannte Ordnung wurde für die Bearbeitung 

 ausgewählt wegen des hohen Grades der Symmetrie der Gestalten und 

 wegen des damit zusammenhängenden besonders grofsen Reichtums an 

 Foimen, vor allem aber deswegen, weil bekanntlich aus dem Hexakisoktaeder 



') a. a. 0., Abschnitt F: Die besonderen Vielflache höherer Art. Dem trefflichen 

 Buche sind die Photographien von Modellen der meisten bis dahin bekannten gleichflächigen 

 und gleicheckigen Polyeder beigegeben. 



2) Über die gleicheckigen und gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen 

 Polyeder." Nova Acta, Abh. d. Kais. Leop.-Carol. D. Akad. d. Naturf. Bd. LXXXVI, Nr. 1. 

 Ebenfalls mit Abbildungen und Lichtdrucktafeln glänzend ausgestattet. — Vgl. auch den kurzen 

 Auszug daraus: Zur Geschichte der Theorie der gleicheckig- gleichflächigen Polyeder, Unter- 

 richtsblätter für Math. u. Naturwissensch. 1907, Nr. 5 u. 6; sowie den Vorbericht: Verh. des 

 3. intern. Math. Kongr. z. Heidelberg, 1904, S. 707—713. 



3) Eine kurze Übersicht über die wesentlichsten Ergebnisse der vorliegenden Unter- 

 suchungen (natürlich ohne Berücksichtigung der zahlreichen Einzelresultate) ist bereits ver- 

 öffentlicht worden; vgl. A. Rosenthal, Zur Theorie der gleichflächigen Polyeder, Sitzber. d. 

 math.-phys. Kl. d. Kgl. Bayer. Ak. d. Wiss., Bd. XXXVIII, 1908, Heft I. 



