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Artiir Rosenthal, 



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Endlich soll das konvexe g-leichfläcliige Polyeder erster Art, welches den 

 Kern einer vollständigen Fignr bildet, als Kernform bezeichnet werden. 



Zur Bestimmung- mehrfacher Schnittpunkte der vollständigen Figur 

 ist folgender Hilfssatz vorher zu beweisen: 



Schneiden sich drei Gerade in einem Punkte und trägt 

 man von diesem Punkte aus, auf jeder der Linien je drei be- 

 liebige Strecken so an, dafs die Abschnitte auf den einzelnen 

 Geraden in gleichem Verhältnisse {m:n:l) stehen, verbindet 

 man endlich immer drei verschiedenartige von den dadurch 

 bestimmten Punkten durch Ebenen, so gehen die auf diese 

 Weise gebildeten sechs Ebenen durch einen Punkt S. 



Beweis. 



Die Gleichungen der sechs Ebenen, auf die drei gegebenen Geraden 

 als Achsen bezogen, sind: 



X 



r 



+ 



l 

 ms 



-1- 



nt " 



-1 



= 



r n s 



+ .», ' 



^ 



X 



mr 



-f- 



JL 

 ns 



+ 



7 



-1 



= 



X y 



— + - 



mr s 



+ ,Ti-l 



= 



X 



nr 



+ 



y 



s 



+ 



Z 



-1 



= 



n r m s 



+ I-' 



= 



Es ist nachzuweisen, dafs die vierreihigen Determinanten der 

 Koeffizienten der ersten drei Gleichungen, abwechselnd verbunden mit je 

 einer der drei letzten, verschwindet. Die Determinante der ersten vier 



Gleichungen lautet: 



I 

 r 



i 



ms 



^-1 

 nt 





mn 



n 



m 



1 











n - m 



m — n 



1 



mr 



1 



nr 



1 

 ns 



1 

 s 



' -1 



t 



m t 



— 1 



n 

 m 



m 

 m n 



mn 

 n 



1 

 1 



= 



« 



— 1 



m(1— m) 

 m[l—n) 



n 

 m{n—l) 



(Hi-1) 



rst{mn)'^ 







1 



1 

 ns 



?nt 





m n 



m 



n 



1 







mn 



m 



n 1 







— (w — 



- n) • (m — 1) • 



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1 

 



1 



1 = A 





 \ 1 1 



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