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Untersuchungen über gleichflächige Polyeder. 



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Ganz ebenso für die beiden anderen Determinanten. Also gehen die 

 sechs Ebenen durch einen Punkt (S). q. e. d. 



Der Beweis behält natürlich seine Giltigkeit, auch wenn irgend 

 welche von den drei Verhältniszahlen [ni, », 1) negativ sind. 



Die Verbindungslinie von S mit dem Achsenschnittpunkt ist die 

 Diagonale des durch sich entsprechende Achsenpunkte bestimmten Par- 

 allelopipeds. 



Denn die Koordinaten von S (in dem oben eingeführten Koordinaten- 

 system) sind: 



1 



st{mny-A 



rtiynn)"^ A 



rs{mny-A 



1 



11 



»». 



1 



m 



mn 



1 



mn 



n 



mn 



1 



m 



n 



1 



mn 



m 



1 



n 



mn 



n 



1 



n 



m 



1 



m 



mn 



1 



1 



rtXmn)"^ A 



rsimny^A 





m 



mn 





mn 



n 





n 



m 





mn 



n 





n 



m 





m 



mn 



1 



rt{mny^ A 



rs{mny- A 





n 



m 





m 



mn 





mn 



n 





n 



m 





m 



mn 





mn 



n 



y 



r : s : t. 



Also verhält sich in der Tat x : 



•Wenn die Achsen aufeinander senkrecht stehen, und die Abschnitte 

 auf ihnen nicht nur in gleichem Verhältnis stehen, sondern gleich grofs 

 sind, dann Tvird aus dem Parallelopiped ein Würfel, die Diagonale 80 steht 

 symmetrisch zu den i^chsen, bildet also die trigonale Zwischenachse des 

 Oktanten. Da sich nun in unserer vollständigen Figur auf jeder vier- 

 zähligen Koordinatenhalbachse ein Punkttripel A, B, C befindet, so ist die 

 j\Iüglichkeit gegeben, jede der drei Punktarten mit den negativen zu ver- 

 tauschen. Man erhält also auf jeder dreizähligen Zwischenachse 2 • 2 • 2 = 8 

 solche Punkte S, die sich wegen der Symmetrie zu je vieren in gleicher 

 Weise auf beide Halbachsen verteilen; sie mögen S-^, S^, S3, 64 heifsen. In 

 der vollständigen Figur gibt es also im ganzen 4 • 8 ^ 32 Punkte S, von 

 jeder Art acht. 



Um die Punkte auf den zweizähligen Achsen zu erhalten, denke 

 man sich die vollständige Figur längs einer Koordinatenebene durchschnitten ; 

 wie in jeder beliebigen Symmetrieebene sind auch hier 24 Spurlinien vor- 

 handen. Je zwei entsprechend verlaufende Linien schneiden sich in einem 



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