[11] Untersuchnngen über gleichflächige Polyeder. 53 



2. Dreizählige Achse: 

 Aus ^ + A + ^ _ 1 = 



2}a qa ra 



ergibt sich x ^ y ^ s ^ ^^ . a. 



p q + pr -\- qr 



Also 



0-S= J^\ .«1/3. 

 pq + j3>- + qr 



Demnach erhält man, wenn ' p \ = n; \q\ = m; | r | = 1 ist : 



— S,= — al/S (Schnittpunkt der Ebenen ABC) 



mn -\- n + m 



O — S, ^ ^ al/3 ( „ „ , ASC) 



0—S^ = ^^^- «l/3 ( „ „ „ ABC) 



0-Si= "^ at/3 ( „ „ „ ABC) 



mn — n — m 



bez. = '^ al/3 ( „ „ „ ABC) 



n + m—mn v k v » „ ; 



Es kann nämlich mn = « + rn sein. 



Für mn>n + m befindet sich also der Schnittpunkt der Ebenen 

 ABC auf der zur betrachteten Zelle gehörigen, positiv gerechneten Halb- 

 achse, während der Schnittpunkt der Ebenen ABC symmetrisch dazu auf 

 der negativen Halbachse liegt. Diese beiden Schnittpunkte fallen im Un- 

 endlichen zusammen, wenn mn = n + ni ist. In S^^ trefl'en sich also 

 zwölf Polyederflächen. Endlich für mn < n + m rückt der Schnittpunkt 

 der Ebenen ABC auf die negative, der Schnittpunkt der Ebenen ABC 

 in die symmetrische Lage auf die positive Halbachse. Es ist also auf jeder 

 trigonalen Halbachse immer ein Punkt S^, der von die Entfernung 



ai/3 hat, vorhanden, nur von anderen Ebenen gebildet, je 



mn — n — m ' i ' ' a ,- 



nachdem m?z < oder >n + m ist. Gremäfs dieser Eigenschaft sondern sich 

 die Hexakisoktaeder (eigentlich ihre vollständigen Figuren) in drei Unter- 

 gattungen: («) mn>n + m und (ß) mn < n + m, wobei (/) mn = n + m 

 die Übergangsformen darstellt. Die wirkliche Bedeutung dieser Unter- 

 scheidung wird erst weiter unten ersichtlich werden. — ' 



