B — ac: 



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« C 



56 Artur Rosenthal, [14] 



stellen die Schnitte der sechs ZAvischensynimetrieebenen dar und zugleich 

 die Spurlinien der in bezug auf diese Symmetrieebenen symmetrisch ge- 

 legenen. Polyederflächen. Jede dieser Schnittlinien trifft die beiden in den 

 zugehörigen Zwischensymmetrieebenen gelegenen dreizähligen Achsen, und 

 zwar liegen (wie sich aus der Zusammenstellung S. 53 ergibt): 



auf A — hc: zwischen A und bc der Punkt S, ; a) über A, ß) über bc hinaus der Punkt 54 



1 1 » '^3 



1 n II ^'2 



1 » I. 'S':! 



in n "^4 



I II II "4 



Der Fall «) tritt ein, wenn mn > n + m, der Fall ß), wenn mn <n + m; 

 für /) nm = n + m liegt S^ im Unendlichen, d.h. Ä — bc, B — ac und C — ah 

 sind dann zu einander parallel. 



Durch jeden der Punkte S gehen also (wie es sich von selbst ver- 

 steht), drei Spurlinieu von Zwischensymmetrieebenen. — Da die vier durch 

 einen der Punkte A, B, C gehenden Spurlinien von Symmetrieebenen ein 

 harmonisches Büschel bilden, so ist auch 



(A, bc, Si, S4) = — 1 ' (A, bc, S.„ A3) = — 1 

 (B, ac, Si, S3) 3= — 1 I (B, ac, S^, S4) = — 1 

 (C, ab, S„ Ä) = — 1 i (C, ab, &„ Sj) =. — 1. 



Zur Ausführung der Konstruktion und zu ihrer Kontrolle sei noch 

 weiter angegeben, dafs (wegen der Eigenschaften von Pol und Polare bezüglich 

 eines Dreiecks [A J._BC!]) die Punkttripel ah, ac, bc; hc, ac, ab; bc, ab, ac 

 und ac, ab, bc je auf einer Geraden liegen (die jedoch nicht als Spurlinieu 

 von Flächen auftreten). — 



Die neun in den Symmetrieebenen liegenden Spurlinien sind (nach 

 der Definition von Hefs)'* die direkt-symmetrischen Kanten. Diese 

 allein (bezw. Teile von ihnen) dürfen also bei den von uns abzuleitenden 

 Polyedern als Kanten vorkommen, alle andern Linien sind blofs als Schnitt- 

 linien (Doppellinieu) in Betracht zu ziehen. Deshalb können auch nur die 



1) Der Begriif der direkt-symmetrischen Kante wurde von Hefs zunächst für die 

 Kugelnetze der Polyeder gebildet. 



