[17] Untersuchungen über gleicMächige Polyeder. 59 



Wenn man nämlich das Symbol einer geg. Linie ins Negative verkehrt, so 

 geht auch das dnrch Transposition gewonnene Sjanbol der kongruenten 

 Geraden in seinen entgegengesetzten Wert über, d. h. wenn zwei Strahlen 

 einander entsprechen, so gilt dies auch für die beiden parallelen Strahlen. — 



Irgend eine Gerade ist gleichweit entfernt von den Berührungs- 

 punkten der beiden von ihr aus an eine Kugel gelegten Ebenen. Deshalb 

 besitzen auch in unserer Schnittfläche je zwei kongruente Spurlinien den 

 gleichen Abstand von dem Berührungspunkt der dem Hexakisoktaeder ein- 

 beschriebenen Kugel. Daraus folgt weiter, dafs der Berührungspunkt, der 

 Schnittpunkt zweier kongruenter Linien und der Schnittpunkt der dazu 

 parallelen, ebenfalls einander kongruenten Strahlen auf einer Geraden liegen, 

 die den ■ Winkel der kongruenten Linieupaare halbiert. Der Berührungs- 

 punkt selbst ist der Fufspunkt des vom Kugelmittelpunkt auf die Fläche 

 gefällten Lotes, also der Höhenschnittpunkt H des A ABC. 



Ähnliches wie für die Schnittlinien gilt auch für die Schnitt- 

 punkte. Wenn in einem Schnittpunkt unserer vollständigen Figur sich 

 j) Ebenen treffen und die Zahl der Symmetrien^) des Punktes s ist, 



dann ist ein derartiger Punkt - mal in unserer Schnittebene vorhanden. 



^ s 



Also tritt jeder Achsenhauptpuukt nur einmal auf, die übrigen in Symmetrie- 

 ebenen gelegenen Schnittpunkte je zweimal (auf direkt- symmetrischen Kanten 

 gelegen). Alle andern Schnittpunkte kommen (da sich in ihnen immer drei 

 Flächen begegnen) in unserer Schnittfigur je dreimal vor; und zwar liegen 

 homologe Punkte auf konzentrischen Kreisen mit dem Berührungspunkt der 

 eingeschriebenen Kugel als Mittelpunkt, da gleichartige Punkte der voll- 

 ständigen Figur eines gleichflächigen Polyeders auf Kugeln verteilt sind, 

 die mit der einbeschriebenen Kugel konzentrisch sind (Hefs"'). 



Die Betrachtungen dieses § werden eine genügende Vorstellung von 

 der vollständigen Figur und dem ebenen Schnitt vermittelt haben, so dafs 

 jetzt zu den Polyedern selbst übergegangen werden kann. — 



1) D. h. die Anzahl der Lagen, welche eine diesen Punkt enthaltende Polyederebene 

 durch Spiegelung an den durch den Punkt gehenden Symmetrieebenen sowie durch Drehung 

 um die nach dem Punkte laufende Achse einnehmen kann. 



2) Kugelteilung, S. 448/449. 



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