§ 2. 



Die Grundformen und die Anzahl der gleichflächigen Polyeder mit 

 direkt- symmetrischen Kanten für irgend eine Hexakisoktaederfamihe. 



Es handelt sich zunächst darum: Wieviele verschiedene Formen 

 können die eine Zelle ausfüllenden Fläclienstücke annehmen? 

 Dies fällt zusammen mit der Frage: In wieviele Teile wird eine 

 Fläche durch die direkt-symmetrischen Kanten zerlegt? 



Es ist klar, dafs ebensogrofs die Anzahl der einfachen^), 

 sich nicht durchsetzenden Polyeder mit direkt-symmetrischen 

 Kanten ist. 



Beweis. 



Die Spiegelung an jeder der Sj^mmetriekanten des die Zelle erfüllenden 

 Polyederebenenteiles bringt diesen in eine zur Kante symmetrische Lage, 

 welche einer anderen Polyederfläche angehört. Dieses läfst sich fortsetzen, 

 bis sämtliche Zellen einmal überdeckt sind und wir ein geschlossenes, sich nicht 

 durchsetzendes Polyeder vor uns haben. Jede Zelle mufs nämlich mindestens 

 einmal überdeckt werden, da man von irgend einer Zelle aus durch eine 

 endliche Anzahl von Sjiiegelungen an Symmetrieebenen zu jeder anderen 

 Zelle gelangen kann. Ferner kann jede Zelle nur einmal überdeckt 

 werden. Denn bei der Spiegelung an einer Symmetrieebene geht immer 

 eine vier-, drei- bez. zweizählige Achse wieder in eine gleichartige Achse 

 über. Die Abschnitte, welche das die Zelle überdeckende Flächenstück auf 

 jeder Zellachse macht, sind eindeutig bestimmt; also gehen auch die auf 

 gleichartigen Achsen gelegenen Abschnitte bei der Spiegelung ineinander 

 über. Deshalb sind in jeder Zelle die Abschnitte auf den betreifenden 



1) D. h. nicht zerfallenden. 



