[19] Artnr Rosenthal, Untersuchungen über gleichflächige Polyeder. 61 



Achsen genau so grols wie in der ursprünglichen Zelle und dadurch ist die 

 Lage des überdeckenden Ebenenteiles in der neuen Zelle eindeutig bestimmt; 

 aus gleichem Grunde ist die Lage der in den Symmetrieebenen liegenden 

 Kanten eindeutig gegeben. Deshalb mufs die durch den Spiegelungsprozefs 

 sich bildende Gestalt geschlossen sein. Das so entstehende Polyeder kann 

 sich auch nicht selbst durchsetzen; denn sonst müfste mindestens eine Zelle 

 von mehr als einer Ebene überdeckt werden, was nach dem vorhergehenden 

 unmöglich ist. — Die nach dem obigen erhaltenen einfachen, sich nicht 

 durchsetzenden Polyeder, sind auch die einzig möglichen, da ja auch um- 

 gekehrt bei einem sich nicht durchsetzenden, einfachen Polyeder jede Zelle 

 nur einfach überdeckt sein kann. q. e. d. 



Auf die oben gestellte Frage gibt die Konstruktion der Schnittfigur 

 unmittelbar die Antwort und die Rechnung mit Hilfe der von Eberhard^) 

 angegebenen Formel bestätigt die allgemeine Gültigkeit. 



Diese Formel laiitet: 



n 



Ö2 = 1 + ^ (« — 1) • nii . 



j = 2 



Dabei bedeutet: 



ö, =^ Anzahl der Teile, in welche die Ebene durch die Geraden 

 zerlegt wird; 



m, = Anzahl der Schnittpunkte, in denen sich i Gerade treffen. 



NB. Wie in der projektiven Geometrie wird dabei Ebene und Gerade 

 als durch das Unendlichferne hindurch in sich geschlossen betrachtet. 



In unserem Xetze der direkt- symmetrischen Kanten schneiden sich nun: 



in jedem Schnittpunkt einer vierzähligen Achse {A, B, C) je vier Gerade, 



,, „ „ dreizähligen „ (S,, S^, S^, S^) „ drei , , 



„ , „ „ zweizähligen „ (ab, ac, bc, ab, ac, bc) „ zwei „ 



Die direkt- symmetrischen Kanten können sonst keinen Schnittpunkt haben. 

 (Denn ein Schnittpunkt von direkt -symmetrischen Kanten zeigt die Schnitt- 

 gerade von Symmetrieebenen an; da sich aber die Symmetrieebenen nur in 



1) V.Eberhard, Die Grnndgebilde der ebenen Geometrie (1. Bd.), Leipzig 1895, 

 S. 4.3. — Diese Relation ist, worauf Eberhard hinweist, mit der für einfach zusammen- 

 hängende, einfach berandete zweiseitige Flächen geltenden Eulerschen Formel (e + f^lc+l) 

 identisch. — Die obige Formel für die durch beliebige Gerade hervorgebrachte Einteilung der 

 Ebene kann man auch, von einem endlichen ebenen Polygonnetz ausgehend, unmittelbar erhalten. — 



