[21] Untersuchungen über gleichflächige Polyeder. 63 



jedes eine Kante zweier benachbarter Ebenenteile ist. Da aufserdem neun 

 Symmetrielinien vorbanden sind, so ist 



(2) Sx + 4a: + . . . + TO • «,„ = 2 . 9 • 4 = 72. 



Wenn man Gleichung (2) von der mit drei multiplizierten Gleichung 

 (1) abzieht, so erhält man 



— x^ — 2 Xj — . . . — ()» — 3) x„i = 0. 

 Da nun alle x^^O sind, so ergibt sich daraus, dafs jedes dieser 

 Glieder {x,, für li > 3) gleich ist. 



Also haben wir immer lauter Dreiecke, q. e. d. 

 Dies steht in Übereinstimmung damit, dafs die Ebenenteile von den 

 Spuren der Zellen begrenzt werden. Deshalb nennen Avir im folgenden die 

 von den Symmetriekanten begrenzten Ebenenteile: Zellformen. — 



Nach alldem ergeben sich bei dem allgemeinen Hexakisoktaeder : 

 Für Untergattung « und ß (kein Schnittpunkt im Unendlichen): 

 24 — 9 = 15 ganzgeschlossene Zellformen, 



9 durch das Unendliche hindurchschreitende, 



bez., wenn man die Ebene als nicht in sich geschlossen 

 betrachtet, 

 18 offenene Zellformen. (Denn je zwei offene Teile ergänzen 

 sich zu einem das Unendliche durchschreitenden.) 

 Also, wenn man die Ebene (die eine beliebige Polyederfläche repräsentiert) 

 als nicht geschlossen ansieht, so hat man 15 + 18 = 33 Teile; 



•d. h.: Jede Polyederfläche erstreckt sich durch 33 verschiedene Zellen; 

 15 davon werden vollständig erfüllt, 18 nur teilweise. — 

 Für Untergattung / (Eckpunkt »S4 liegt im Unendlichen): 



Da in S^^,^ sich Ä- = 3 parallele Linien schneiden, so erhalten wir 

 24 — 9 — (3 — 1) = 13 ganz geschlossene Zellformen, 

 2 (3 — 1) = 4 halb geschlossene Zellformen, 

 und 9 — (3 — 1) = 7 das Unendlich weite enthaltende, 



bez. 14 offene Zellformen. 

 Also gehört hier in Untergattung 7 eine jede Polyederfläche nur 31 

 verschiedeneu Zellen an; davon werden 17 ganz erfüllt (bei vier davon liegt 

 jedoch der dritte Eckpunkt des Dreiecks, nämlich S^, im Unendlichen; diese 

 Zellformen sind halbgeschlossen), 14 sind nur teilweise erfüllt. — 



