[23] Untersuchungen über gleicbflächige Polyeder. 65 



Je zwei sich ergänzende offene Formen schneiden zusammen alle 

 drei Zellachsen; zwei Achsenhauptpunkte gehören der einen, einer der 

 anderen offenen Form an. Um dies auszudrücken, sind die nicht zu der 

 betreffenden Zellt'orm gehörenden Achsenhauptpunkte in [ ] gesetzt. 



Da in jeder der Untergattungen S^ eine andere Rolle spielt, so erfahren 

 die Zelltbrmen, die S^ als Ecke enthalten, wesentliche Glestaltsveränderungen. 



Für Untergattung a: sind 14 und 15 geschlossen, 16 und 17 offen; 

 besitzen 28 und 30 je zwei Achsenpunkte, 29 und 31 nur je einen; 32« 

 und 33« ergänzen 16 bez. 17, liegen also, wie S^ selbst, auf der Seite 

 von 14 und 15. 



Für Untergattung ß: sind 16 und 17 geschlossen, 14 und 15 offen; 

 besitzen 29 und 31 je zwei Achsenpunkte, 28 und 30 nur je einen; 32 ß 

 und 33 13 ergänzen 14 bez. 15, liegen also, wie S^ selbst, auf der Seite 

 von 16 und 17. 



Für die Ubergangsformen y. sind 14, 15, 16, 17 halbgeschlossen, 

 d. h. der Eckpunkt S^ liegt im Unendlichen (!); besitzen 28, 30; 29, 31 je zwei 

 Achsenpunkte, davon einen (S^) im Unendlichen. 32 und 33 sind über- 

 haupt verschwunden, da keine von den Zellformen 14, 15, 16, 17 einer 

 Ergänzung bedarf. — 



Jede der Zellformen bildet den 48ten Teil der Oberfläche eines ein- 

 fachen, sich nicht durchsetzenden Polyeders mit direkt-sym- 

 metrischen Kanten. Es sind also in jeder Polyederfamilie der Unter- 

 gattungen ß und ß 15 geschlossene derartige Gestalten und 18 offene 

 möglich.^) Für die Ubergangsformen y ergeben sich 13 geschlossene, 4 

 halbgeschlossene und 14 offene. 



Diese offenen Gestalten kann man jedoch nicht wohl als Polyeder 

 gelten lassen (höchstens noch als Ausartungen von solchen). Die Projektion 

 solcher offenen Gestalten auf eine konzentrische Kugel überdeckt diese im 

 allgemeinen nicht lückenlos, wie es bei den geschlossenen Polyedern immer 

 der Fall ist. 



Höchst eigentümliche Gestalten erhält man an Stelle dieser offenen 

 Formen, wenn man die Ebene und den Raum als in sich geschlossen 



') Diese Zahlen, wie alle folgenden, verdoppeln sich, wenn man die Hohlformen in 

 Betracht zieht; vgl. Hessel, a. a. 0. S. 203: in der Herausgabe 2. Bd. S. 37. 



