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auffafst. Nach Analogie der ..Polygone, deren Kanten das ünendliclnveite 

 enthalien"^) ergeben sich dann gleichflächige Polyeder, deren Flächen das 

 Unendlichweite enthalten; sie mögen transgrediente Polyeder heifsen. 

 Hier sind es neun (bez. sieben bei mn = m + n) an der Zahl; die Kugel 

 wird von ihrer Projektion einmal vollständig bedeckt; jede Fläche hat man 

 sich durch das Unendliche hindurch fortgesetzt zu denken.-) — 



Wir wollen nun allgemein bestimmen: Ein Polyeder heilst von der 

 J.ten Art, wenn seine Flächen, von irgend einem für alle diese Flächen 

 auf der gleichen Seite gelegenen Punkt aus auf eine um diesen Punkt 

 beschriebene Kugel projiziert, diese Kugel ^mal überdecken. Bei unseren 

 gieichflächigen Poh'edern mit direkt -symmetrischen Kanten '") können wir 

 dies etwas spezieller ausdrücken: Ein Polyeder, dessen Flächen, vom Mittel- 

 punkte aus auf die einbeschriebene (oder irgend eine konzentrische) Kugel 

 projiziert, diese Kugel Ä mal überdecken, heifst von der A ten Art. Dieser, 

 an Wiener sich anschliefsende Begriff weicht für nichtkonvexe Polyeder 

 von dem Hefs 'sehen Artbegrift" ab, fällt jedoch für konvexe Polyeder mit 

 dem Hefs 'sehen Artbegriff zusammen. 



Wir wollen uns zunächst noch etwas näher mit dem Artbegriff be- 

 schäftigen. 



Betrachten wir- zuerst den Artbegriff für Polygone! Wir bezeichnen 

 die Art eines Polygons, wie üblich, mit a. Wiener*) (und wir mit ihm) 

 leitet die Art der Polygone von der Summe der Aufsenwinkel her, während 

 Hefs (und Brückner)"' von der Summe der Umfangswinkel ausgeht. Wie 

 immer, ist dabei unter Aufsenwinkel die Ergänzung des Innenwinkels zu Jt 



1) Hefs, Über gleicheckige und gleichkantige Polygone, S. 695. Schriften der Gesell- 

 schaft zur Bef. d. ges. Naturwissensch. zu Marburg, 1874. 



-) Es sei hier bemerkt, dafs man gewöhnliche halbgeschlossene gleichflächige Polyeder 

 erhält, wenn man bei solchen transgredienten Polyedern die unendlich ferne Gerade nicht 

 als Schnittlinie, sondern als Kante einführt. Doch gehören diese Formen nicht hierher, weil 

 sie Polyeder mit nur teilweise direkt-symmetrischen Kanten sind. 



s) Da alle Kanten Symmetriekanten sind, so kann der Übergang zwischen Teilen, 

 welche dem Mittelpunkt verschiedene Seiten zuwenden, nicht durch Kanten, sondern nur 

 durch einzelne Punkte stattfinden; dann kann man also immer durch geeignete Wahl der 

 Umlaufung des Begrenzungspolj^gons erreichen, dafs für alle Flächen auf der gleichen Seite liegt. 



■*) Chr. Wiener, Über Vielecke und Vielflache, Leipzig 1864, S. 2 ii. 3. 



5) Hefs, a. a. 0. S. 612 fl'.: Brückner, Vielecke und Vielflache, S. 3 u. 4. 



