[25] Untersuchungen über gleichflächige Polyeder. 67 



zu verstehen, (so dafs bei überstumpfem Innenwinkel der Aufsenwinkel 

 negativ wird) ; der Umfangswinkel dagegen ergänzt den Innenwinkel zu 3 jt 

 oder zu jc, je nachdem der Innenwinkel ausspringend oder einspringend ist. 

 Wir unterscheiden die H eis 'sehen Zeichen von den Wien er sehen 

 durch Überstreichen. Dann ist also (Definition): 



nach Wiener: Summe der Aufsenwinkel = 2ajt, 



nach Hefs: Summe der Umfangswinkel = 2ajr. 



Daraus folgt also, wenn wir die Summe der Innenwinkel mit I = qyt 

 bezeichnen : 



nach Wi e h e r : l^^nx — 2 « ji- -. also a = — ~ {n = Zahl der Kanten bez. Ecken), 

 nach Hefs: i= (n—Jc)jt + 3lcjr — '2äjt = nyt — 2 (ä—Jc) jc, wenn k die An- 

 zahl der überstumpfen Winkel ist; also a =^ — — ^ + h 



Hieraus ergibt sich eine Beziehung zwischen der Wien er sehen Art 

 eines Polygons und der Hefs 'sehen Art, nämlich: 



(worauf schon Brückner hingewiesen hat"); deshalb ist für ein konvexes 

 Polygon (Ä- = 0): a = a. 



Ferner ist bekanntlich: 



nach der Hefs 'sehen Definition: a = Anzahl der durch die Summe 

 der Polarwinkel bedeckten Kreise, 



nach der Wien er sehen Definition: Wenn man von einem beliebigen 

 Punkt aus Parallele zu allen Seiten eines Vielecks zieht und zwar in der 

 Richtung, in welcher sie durchlaufen werden, so wird jede von dem Punkt 

 aus einseitig gezogene Gerade G amal mehr in dem Sinn überschritten, in 

 welchem die Umlaufung stattfindet, als in dem entgegengesetzten. 



Man sieht nun unmittelbar, dafs die Wienersche Definition der 

 Artzahl eines Polygons (wenn Punkte P existieren^', die für alle Kanten 

 des Polygons auf der gleichen Seite liegen) identisch ist mit der folgenden 

 Definition : 



1) Brückner, Vielecl^e und Vielflache, S. 15. 



2) Für konvexe Polygone existieren immer solche Punkte P. 



Nova Ar.ta XCIII. Nr. 2. 



