68 Artur Rosenthal. [■2<i] 



Wird das Polygon von P aus auf einen um P beschriebenen Kreis 

 2)rojiziert, so ist die Zahl der Kreisbedeckungen = o.') 



Denn, bildet man alle n Dreiecke, deren Basis eine Kante des Poly- 

 gons ist und deren Spitze in P liegt, so ist 



I = njt — 2 a jt 



[indem man von der Gesamtwinkelsumme die um P gelegenen Winkel (2rt.T) 

 abzieht]. Dies ist identisch mit der Formel für die Summe der Innenwinkel, 

 welche sich nach der AVienerschen Artdefiuition ergibt. Also stimmt 

 unsere Definition mit der Wien ersehen überein. 



NB. Da die Art nur von den Winkeln abhängt, so wird sie durch 

 eine Parallelverschiebung der Kanten nicht geändert, wenn nur Aufeinander- 

 folge und Richtung derselben erhalten bleibt. Damit hat mau ein Mittel, 

 um solche Polygone, für welche kein Punkt P existiert, in Polygone gleicher 

 Art zu verwandeln, für die eventuell Punkte P vorhanden sind. 



Das Analoge, wie für die ebenen Polygone, gilt auch für sphärische 

 Polygone und deshalb für die körperlichen Ecken: 



Hefs bestimmt die Art einer körperlichen Ecke durch die Art des- 

 jenigen sphärischen Polygons, das die Polarecke auf der ihrem Scheitel 

 umschriebenen Kugel ausschneidet. Wiener"^) versteht unter einem körper- 

 lichen Eck von der «ten Art ein solches, das von einer Ebene in einem 

 Vieleck dieser Art geschnitten wird. Man könnte natürlich ebensogut das 

 körperliche Eck durch eine seinem Scheitel umschriebene Kugel schneiden 

 und die Art des Ecks durch die Art des so entstehenden sphärischen Polygons 

 angeben. Ferner ergibt sich durch ähnliche Schlüsse wie oben, dafs 



ist, wobei y. die Anzahl der überstumpfen Winkel des sphärischen Polygons 

 bez. die Anzahl der einspringenden Flächenwinkel des körpei'lichen Ecks 

 bedeutet. Deshalb ist wieder für konvexe Ecken (x = 0): « = «. 



1) Von Wiener (a. a. 0. S. 16/17) nur föi' konvexe Polygone ausgesprochen, bei 

 denen es auch für den Hefs'schen Artbegriff natürlich noch gilt (Brückner, a. a. 0. S. 8; 9). 



2) Wiener, a. a. 0., S. 19. 



