[27] Untei'suchiingen über gleichflächig-e Polyeder. 69 



Ebenfalls analog zu dem obigen, stimmt, wenn eine vom Scheitel 

 des körperliclien Ecks aus gezogene Gerade g existiert, welche für alle 

 Ebenen des Ecks auf der gleichen Seite liegt, die Wien er sehe Definition 

 mit der folgenden Definition iiberein:^) 



Wird die körperliehe Ecke von ■ der Greraden g aus auf einen g um- 

 schriebenen Kreiskegel projiziert, so wird dieser Kegel amal überdeckt. 



Oder, was dasselbe ist: Wenn man die körperliche Ecke auf eine 

 dem Kegel einbeschriebene Kugel von deren Mittelpunkt aus projiziert, so 

 wird die Umgebung der Projektion des Scheitels der Ecke « mal überdeckt. 



Denn, wenn man Ecke und Kegel durch eine Ebene schneidet, so 

 ist dies zurückgeführt auf das beim ebenen Polygon Gesagte. 



Über die Bestimmung der Art bei den Polyedern endlich ist folgendes 

 zu bemerken: 



Hefs definiert die Art eines Vielflaches durch die Anzahl der von 

 der Summe aller seiner Polarecken bedeckten Kugeln.^) Nach Wiener^) 

 ist ein Yielflach von der J.ten Art, wenn man in seinem Innern einen der- 

 artigen Punkt angeben kann, dafs jede durch ihn gelegte Ebene das Viel- 

 flach in einem Polygon ^ter Art schneidet. Dies ist, wenn Punkte P 

 existieren, die für sämtliche Polyederflächen auf derselben Seite liegen, 

 identisch mit folgender Definition: 



Wenn man von einem Punkt P das Polyeder auf eine diesem Punkt 

 umschriebene Kugel projiziert, so wird die Kugel J.mal überdeckt.*) 



Denn, wenn man durch P alle Ebenen legt, so wird jedesmal das 

 Polyeder in einem Polygon geschnitten, welches den von der Ebene auf 

 der Kugel ausgeschnittenen Kreis (wie jede Stelle der Kugel) A mal überdeckt. 



Hefs'i hat aus seiner Definition folgende wichtige Formel abgeleitet: 



2Ä = :Ea + Sa — K — y; k; 



') Von Wiener (a. a. 0. S, 26) für konvexe Ecken ausgesprochen, bei denen es auch 

 noch für den Hefs'schen Artbegriff gültig .ist (Brückner, a. a. 0. S. 124). 



2) Brückner, a. a. 0. S. 124; Hefs, Kugelteilung, S. 433. 



s) Wiener, a. a. 0. S. 16/17. 



4) Von Wiener (a. a. 0. S. 17) für konvexe Polyeder angegeben, bei denen dies 

 auch für die Hefs'sche Art gilt. 



•') Brückner, a. a. 0. S. 124/125; Hefs, Über die zugleich gleicheckigen und gleich- 

 flächigen Polyeder, Schriften d. Ges. z. Bef. d. ges. Natnrw. zu Marburg (Kassel 1876), S. 13—16. 



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