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Dabei bedeutet: 



^"« die Summe der Arten der körperliclieu Ecken des Polyeders, 



JS'ö die Summe der Arten der Flächen des Polyeders, 



K die Anzahl der Kanten, 



Sk die Anzahl der überstumpfen Kantenwinkel. 



Wir können aus unserer Definition eine analoge Formel ableiten (m 

 ähnlicher Weise, wie dies Wiener für die regulären Polyeder getan hat'^): 



Man projiziere ein Begrenzungspolygon auf die Kugel; dann ist der 

 Flächeninhalt des entstehenden sphärischen Polygons: 



w — («. — 2a) jt 

 2jr 2 



wenn n die Kantenzahl und a die Art des ebenen und des entstehenden 

 sphärischen Polygons, w die Summe der Winkel des sphärischen Polygons 

 und die Kugeloberfläche bedeutet. 



Dann ist 2£F =^ A • Q (die Kugel wird A mal überdeckt). 



Also 



f • y:(w — {n — 2a)jt) ^A- 6, 



d.h. 



~ — 2'». + 2 2:a = AA. 



Da nun in jeder Kante zwei Begrenzungspolygone zusammenstofsen, so ist 



2n = 2ir. 

 Ferner ist 



-— = Sa. 

 2jt 



Also 



^« + Za—K = 2A. 

 (Erweiterter Eulerscher Polyedersatz.) ^' 



Wir vergleichen nun diese Formel mit der H eis 'sehen Formel. 

 Wenn wir in die Hefs'sche Formel eintragen: 



1) Wiener, a. a. 0. S. 31. 



2) Da dieser Polyedersatz (im Gegensatz zur Hel's'schen Formel) nicht von der 

 Anzahl der nberstnmpfen Flächenwinkel abhängt, so gut der Satz unmittelbar für Riemannsche 

 Flächen, welche die Kugel mehrfach überdecken. 



