[29] Untersuchungen über gleicMächige Polj'eder. 71 



(hierbei ist zu beachten, dafs jeder überstumpfe Winkel zwei körperlichen 

 Ecken angehört), 



imd ä = a + t, 



so nimmt die Hefs'sche Formel folgende Gestalt an: 



2(1 — i:x) == ^« + 2"« — K 

 Deshalb ist 



Ä = Ä — :sx, 



wobei 2£y. die Anzahl der überstumpfen Flächenwinkel des Polyeders bedeutet.^) 

 Indem wir diese Beziehung postulieren, auch für den Fall, dafs kein 

 Punkt F vorhanden ist, legen wir unseren Artbegriff ebenso allgemein fest, 

 wie den Hefs 'sehen. — 



Wir können die abgeleitete Beziehung sofort anwenden, um für unsere 

 gleichflächigen Polyeder unmittelbar aus einem Begrenzungspolygon den 

 Zusammenhang zwischen A und A abzulesen. Wenn nämlich in der Be- 

 grenzungsfläche eines gleichflächigeu Polyeders b Kanten vorhanden sind, 

 an denen konkave Flächenwinkel liegen (die direkte Bestimmung dieser 

 Kanten ergibt sich aus dem in § 4 Gesagten), so sind, da sich in jeder 

 Kante zwei Begrenzungspolygone schneiden, im ganzen —^ — konkave 

 Flächenwinkel vorhanden. 

 Also ist dann 



= Ä + b-2A. 



Allgemein für ein gleichflächiges Polyeder, wenn M die Anzahl seiner 



Flächen ist: 



- , 1)-M 



A = Ä + ^^-. 



Soviel') über den Artbegriff. ^) 



') A und A stimmen also für die konvexen Polyeder und nur für diese iiberein. 



-) Vgl. im übrigen die historischen Bemerkungen über den ArtbegrifF und die Er- 

 weiterungen der Eulerschen Polyederformel in Brückner, a. a. 0., vor allem S. 58 tf. 

 und S. 177 ff. 



3) Im folgenden wird bei der Bezeichnung einzelner Polyeder, deren Art nach der 

 Hefs'schen Definition von der Wienerschen abweicht (d. h. also bei allen einzeln aufgezählten 

 niehtkonve^ten Polyedern) neben A auch A angegeben. 



