72 Ai-tur Rosenthal. [30] 



Wir wenden ilni nun als Einteilungsprinzi]) auf unsere gleiclitläcliigen 

 Polyeder an. 



Es sind danach also zu Anfang dieses § alle gleichflächigen Polyeder 

 erster Art mit direkt -symmetrischen Kanten abgeleitet; denn diese dürfen 

 in jeder Zelle nur ein Flächenstück, also überhaupt nur eine Zellforra ent- 

 halten. Die Polyeder höherer Art entstehen sämtlich durch Kombination 

 der .Körper erser Art. Denn die Aufgabe, alle möglichen Polyeder mit 

 direkt- symmetrischen Kanten zu bestimmen, fällt zusammen mit der Frage 

 nach der Anzahl der Polygone, die, aus direkt -symmetrischen Kanten ge- 

 bildet, in der Schnittfigur enthalten sind. Solche Polygone können aber 

 nur durch Zusammensetzung der Zelldreiecke entstehen, da dies die kleinsten 

 Elemente des aus den direkt -symmetrischen Kanten gebildeten vollständigen 

 ebenen Netzes sind. Umgekehrt sieht man, dafs alle Kombinationen von 

 Polyedern erster Art mit direkt-symmetrischen Kanten solche höherer Art 

 ergeben. Denn die neuen Polyeder sind gleichflächig", da jede Zellform der 

 ersten Polyeder so oft wiederholt wird, als die Anzahl der Flächen ist (48), 

 und sie sind von höherer Art, da in jeder Zelle mehrere Flächenstücke 

 (Zellformen) vorhanden sind, so dafs die eingeschriebene Kugel mehrfach 

 überdeckt wird. 



Die Körper der ersten Art mit direkt- sj^mmetrischen Kanten mögen 

 deshalb kurz Grundformen genannt Averden. 



Da irgend eine Kombination, in der dieselbe Grundform mehr- 

 mals enthalten ist, in ihrer Gestalt sich gar nicht unterscheidet von der 

 Kombination, in der die besagte Grundform nur einmal auftritt, und da es 

 uns gerade darum zu tun ist, einen Einblick in die Mannigfaltigkeit der 

 Gestalten zu gewinnen, so ist es nötig, sich auf die einfachen Kombinationen 

 zu beschränken. 



Es ist nun die Art Ä eines gleichflächigen Polyeders gleich der 

 Anzahl der zusammengefügten Grundformen; denn die konzentrische Kugel 

 wird ebensooft vollständig bedeckt. Dies gilt jedoch nur für die geschlossenen 

 und transgredienten Polyeder, dagegen nicht für die oft'enen Gestalten; denn 

 für die letzteren verliert im allgemeinen die Definition der Art ihren Sinn, 

 da die Projektion auf eine konzentrische Kugel in der Regel Lücken aufweist. 



