[o9J Untersuclningen über gleichflächige Polyeder. 81 



- - 2n - - 2 H 

 I: &C > ah, ä. L m > I': ah > bc, ä. h. ^- > in 



2 71 - 2 « 



II: hc > ah, d. li, m > 11': ah > h c, d. h. > m 



n — 1 ■/; — 1 



- 2 ni — 2 in 



III: ie > ac, d. L. « > III': ac> hc, d. h. > «. 



Für m li < m + n, d. h. für -^^ > m bez. ;- > n ist II' und III' 



— n — ^1 — m — 1 — 



identisch erfüllt, also II und III unmöglich. 



Wenn die Zellformen 14 und 15 bez. 16 und 17 offen werden, so 

 verliert das Verdecken bei ihnen seinen Sinn, da der Aufsen- bez. Innenraum 

 nicht gekennzeichnet ist. — 



Xunmehr kann zur Beantwortung der oben gestellten Frage über- 

 gegangen werden. Wenn die Aufsenfläche von m Zellformen gebildet wird, 

 so besitzen alle Kombinationen mit denjenigen Formen, welche von den 

 genannten m Zellformen a- erdeckt werden , die gleiche Aufsenfläche. Die 

 AuTsenflächen , welche von m Zellformen gebildet werden , nennen wir vom 

 m ten Grade. Die Typen der Aufsenflächen werden dann nach der Grradzahl 

 eingeteilt. Es gilt ferner allgemein : Wenn m Zellformen in der Aufsenfläche 

 vereinigt sind, so müssen alle [ '* ^ ) = wr Kombinationen dieser Zellformen 

 zu je m—1 selbständig als Aufsenflächen existieren; denn keine dieser 

 m — 1 Zellfonnen kann durch eine andere von ihnen verdeckt werden, da 

 ja eine Verdeckung selbst dann nicht stattfindet, wenn die m te Zelle noch 

 hinzutritt. Demnach kann man umgekehrt aus den von m — 1 Zellformen 

 gebildeten Aufsenflächen alle aus m Zellformen zusammengesetzten unmittel- 

 bar ableiten: 



Man nehme je zwei Aufsenflächen (vtt — 1) ten Grades, die in m — 2 

 Zellformeu übereinstimmen und vereinige beide zu einer Aufsenfläche m ten 

 Grades. Sodann ist, auf Grund der als bekannt vorausgesetzten Aufsen- 

 flächen im — 1) ten Grades zu kontrollieren, ob auch alle noch übrigen 

 m — 2 Kombinationen zu je m — 1 der die fragliche Aufsenfläche »n ten 

 Grades bildenden Zellformen als selbständige Aufsenfläche ()« — 1) ten Grades 

 existieren. Dies stellt eine notwendige Bedingung für das Bestehen der 

 Aufsenfläche m ten Grades dar. 



