[41] Untersuchungen über gleichflächige Polyeder. 83 



hätten von diesen ausgehend, unsere Aufsentläche jh ten Grades aucli er- 

 halten. Q. e. d.') 



Da nun die oben angeg-ebene Bedingung zwar notwendig, aber im 

 allgemeinen noch nicht hinreichend ist, so mufs in jedem einzelnen Falle 

 (wenigstens für die unter III, IT, V und VI aufgeführten Typen) untersucht 

 werden, ob und wieweit, d. h. für welche Familien, die neuen AufsenÜächen 

 existieren. Dies wird am einfachsten durch Betrachtung der Schnittfiguren 

 in den drei Zellwandungen ausgeführt. Für den Fall, dafs die Spuren einer 

 Zellform in diesen Schnittfiguren verdeckt werden, ist es möglich, dafs die 

 beti-effende Zellform selbst von der Aufsenfläche verschwindet. Man beachte 

 hierbei: Eine Ebene wird nur dann von zwei anderen innerhalb der Zelle 

 verdeckt, wenn in den Zellwandungen die beiden Spurpunkte der Schnitt- 

 linie dieser zwei Ebenen oberhalb der betreftenden Spuren der ersten Ebene 

 liegen. Hierauf lassen sich alle Vorkommnisse zurückführen und man erhält 

 in sehr einfacher Weise die Kriterien des Verschwindens für die einzelnen Typen. 



Zwei von den einfachsten Fällen aus dem folo-enden mögen zur Er- 

 läuterung dienen: 



IIl, 1 (^ 2 • 3 • 7): Da in II sowohl (2 und 3) als (2 und 7) wie auch 

 (3 und 7) als Aufsenfiächen auftreten, so ist (2 • 3 • 7) als Aufsenfläche, diei 

 von drei Zellformen gebildet wird, möglich und näher zu untersuchen. Man 

 schreibe deshalb das folgende Schema an: 





R 



S 



T 



2 



A 



s> 



ac 



3 



B 



s, 



ah 



7 



A 



S-, 



a h 



Man kennzeichne in jeder Vertikalreihe den gröfsten Wert; da in 

 unserem Falle auch jeder Horizontalreihe ein solcher zugehört, so sind 

 immer alle drei Zellen sichtbar. 



') Wenn man die Paare der in denselben m — -2 ersten Zeichen übereinstimmenden 

 Symbole (w — l)ten Grades so bildet, dafs man zuerst das erste derselben mit jedem der 

 folgenden, dann das zweite derselben mit jedem der folgenden usw. vereinigt, so hat man 

 noch den Vorteil, dafs sich die Typen »«ten Grades von selbst in lexiljographischer An- 

 ordnung ergeben (da ja auch die m — 2 ersten Zeichen, für sich betrachtet, in ihrer ur- 

 sprünglichen Reihenfolge bleiben). 



Nova Acta XCIII. Nr. 2. 11 



