§ 4. 

 Die konvexen Polyeder. 



Wir wollen nunmehr zur vollständigen Ableitung- der konvexen 

 gleichfläeliigen zur Hexakisoktaedergattuug gehörenden Poh'eder mit direkt- 

 symmetrischen Kanten übergehen. „Ein Vielflach heilst konvex, wenn jeder 

 seiner Flächenwinkel kleiner als jr ist (die Ergänzungswinkel also sämtlich 

 gröfser als jc), nicht konvex, wenn auch nur ein Flächenwinkel überstumpf 

 ist."^) Die Gröfse der Kantenwinkel braucht gar nicht berücksichtigt zu 

 werden. 



Da die beiden in einer direkt- symmetrischen Kante zusammenstofsenden 

 Flächen ganz gleichartig sind, so ist es klar, dafs schon die Eigenschaften 

 einer dieser Flächen ein Kriterium für die Konvexität des Flächenwinkels 

 liefern müssen. So finden wir: 



Der Flächenwinkel an einer direkt-symmetrischen Kante 

 ist dann und nur dann konvex, wenn der Berührungspunkt der 

 Fläche mit der einbeschriebenen Kugel auf derjenigen Seite 

 der Kante liegt, welche dem zum Polyeder gehörigen Teile der 

 Fläche zugewendet ist. 



1) Brückner, Vielecke und Vielflache, S. 46. — Auf S. 163/164 sagt Brückner: 

 „. . . Ist die dort und fernerhin mit 1^ bezeichnete Zahl überstumpfer (Kanten-)winkel gröfser 

 als Null, so ist das Vieltlach sicher nicht konvex; denn mindestens an einer der übrig-en, in 

 dem betreftenden Eckpunkte des Vielflaches endigenden Kanten mufs der Flächenwinkel eben- 

 falls überstumpf sein, welches Vorkommnis die Bedingung des Nichtkonvexseins ausspricht." 

 Danach wäre also das Bestehen eines konvexen Vielflaches mit überstumpfen Kantenwinkeln 

 unmöglich. Dies ist jedoch falsch (wie u. a. ein Blick in die auf S. 101 der vorliegenden 

 Untersuchungen aufgestellte Tabelle der konvexen Polyeder unmittelbar zeigt). Der Schlnfs, 

 den Brückner anwendet, ist deshalb unrichtig, weil dabei Kante und Schnittlinie ver- 

 wechselt wird. — 



