[oo] Artur Rosentlial, Untersuchungen über gleichflächige Poljeder. 97 



Beweis. 



Die Symmetrieebene, welche die betreffende Kante enthält, halbiert den 

 zn untersncheuden Flächenwinkel und geht aufserdem durch den Mittelpunkt 

 der einbeschriebenen Kugel. Fällt mau nun vom Berührungspunkt aus die 

 Senkrechte auf die Kante und verbindet den Berührungspunkt und den 

 Fulspuukt des Lotes mit dem Mittelpunkt der Kugel, so erhält man ein 

 rechtwinkliges Dreieck. Der an dem Fulspuukt gelegene spitze Winkel 

 ist dann entweder die Hälfte unseres Flächenwinkels, wenn der Berührungs- 

 punkt auf derjenigen Seite der Kante liegt, welche dem zum Polyeder 

 gehörigen Teile der Fläche zugewendet ist; oder er ist das Supplement der 

 Hälfte unseres Flächenwinkels, wenn der Berührungspunkt auf der entgegen- 

 gesetzten Seite der Kante liegt. Im ersten Fall ist also der Flächenwinkel 

 < jc, im zweiten Falle dagegen > jt. Q. e. d. 



XB.I Der Winkel wird = n, wenn der Berührungspunkt auf die 

 Kante fällt. 



Da es hiernach vor allem auf den Berülirungspunkt H ankommt, so 

 ist es nötig, sich zunächt seine Lage genau zu überlegen: 



Der Berührungspunkt H liegt immer in der Zelle 1 (oder 

 auf ihren Begrenzungslinien). 



Beweis. 



Die Fufspnnkte der Höhen im A ABC sind zugleich die Fuispunkte 

 der von auf die Kanten AB, AC bez. BC gefällten Lote. Andererseits 

 sind die Punkte ab, ac bez. hc die Schnittpunkte der Halbierungslinien der 

 von den Koordinatenachsen gebildeten rechten Winkel mit den Kanten AB, 

 AC bez. BC. Diese Punkte ah, ac, hc teilen also die Kanten im Verhältnis 

 der Abschnitte auf den Koordinatenachsen, also wie OA : OB, OA : OC, OB : OC, 

 die Höhenfufspunkte dagegen teilen die Kanten im Verhältnis der Quadrate 



(Öl' : OB'; Öl- : ÖC'; OB' : ÖC'). Da nun =' < = usw., so liegt der 



OJtS- OH 



Höhen fufspunkt immer zwischen der Ecke mit dem kleineren Index und dem 

 betreffenden Diagonalpunkt (bez. in der Ecke oder dem Diagonalpunkt). 

 Also liegt der Höhenschnittpunkt immer in Zelle 1 (oder auf ihren Be- 

 grenzungslinien). Q. e. d. 



