[75] Artur Rosentlial, üntersuclinngen über gleichflächige Polyeder. 117 



3. Punkte der zweizähligen Achse (ctb, ac, bc; ab, ac, bc); ab- 

 gekürzt: T. 



Immer kontinuierlicli ; die Fläche g-elang't in alle y'iev Lagen. 



ß = 1, 3 (relativ prim zu 2). — 



Wir führen noch folgende Bezeichnungen ein: 



Diejenige Ebene, welche in auf der Achse eines Achsenhaupt- 

 punktes P senkrecht steht, heifse die Polebene jr dieses Punktes. P selbst 

 heifse der Pol dieser Ebene; der auf der gleichen Achse entgegengesetzt 

 gelegene Punkt möge Gegenpol P' genannt werden; die Achse, welche P 

 und P' verbindet, bezeichnen wir als Polachse j^. Ferner nennen wir die- 

 jenige Seite der Polebene, auf welcher der Pol selbst liegt, positiv, die 

 entgegengesetzte negativ. 



Aufserdem ist zu bemerken: Liegt Pj in ji.,, so liegt auch Pj in jt^. 

 (Zwei solche Punkte Pj und Pj nennen wir konjugiert.) Denn: j;, _L jt^ und 

 (da Pi in .t, liegt) auch ±p2; also p^ und deshalb auch P.^ in jtj. — 



Vor allem gelten nun folgende Sätze: 



1. Satz. 



Wenn man einen kontinuierlichen Eckpunkt durch fortgesetzte Spie- 

 gelungen der Begrenzungsfläche an ihren Kanten') in alle möglichen homo- 

 logen Lagen bringen kann, so kann das Polyeder nicht zerfallen. 



Beweis. 



Der vollzählige, kontinuierliche Eckpunkt, der auf einer }«- zähligen 

 Achse gelegen ist, enthält in jeder seiner Lagen 2 m Polyederflächen. Ein 



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 auf einer m- zähligen Achse gelegener Punkt kann aber ^~ homologe Lagen 



einnehmen, so dafs tatsächlich die Anzahl der Polyederebenen ^), welche einem 

 solchen Punkt in allen seinen Lagen angehören, 48 ist. Q. e. d. 



2. Satz. 



Nimmt ein kontinuierlicher Eckpunkt P vermöge der Spiegelungen an 

 den Kanten eines ihn enthaltenden Begrenzungspolygons alle seine Lagen 



') So sagen wir im folgenden kürzer statt: fortgesetzte Spiegelungen der Begrenzungs- 

 fläche an denjenigen Symmetrieebenen, welche Kanten der ursprünglichen oder gespiegelten 

 Begrenzungsfläche enthalten. 



2) Man beachte hierbei: Jede Polyederebene enthält irgend einen Achsenhanptpnnkt 

 nur einmal. 



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