118 Artur Kosenthai. [76] 



auf der einen Seite der Polebene jr und, wenn solche Lagen möglich sind, 

 in der Polebene ein, und gelangt er auch nur in eine einzige Lage auf der 

 anderen Seite der Polebene, so wird er durch die Spiegelungen in sämtliche 

 homologe Lagen gebracht. 



Beweis. 



Es sind zwei Fälle möglich: Die durch die Polebene ji von den 

 übrigen getrennte Lage ist entweder der Pol P bez. der Gegenpol F' oder 

 keiner von beiden. 



Im ersten Falle vertausche ich Pol und Gegenpol, d. h. ich wähle 

 für eine zweite Operation den Gegenpol zum Ausgangspunkt der zuvor an- 

 gewandten Spiegelungen; dann wird der Punkt in alle Lagen auf der vorhin 

 nicht erfüllten Seite von jt und, wenn dies vorhin der Fall war, nach jc 

 selbst gebracht; da die erste und zweite Operation die Lage P' (und P) 

 gemeinsam hat, und da wir es mit einem kontinuierlichen Eckpunkt zu tun 

 haben, so kann man kontinuierlich durch Spiegelung von der ersten zur 

 zweiten Operation übergehen und also den Punkt in alle seine Lagen bringen. 



Im zweiten Falle ist notwendig die positive Seite von jc mit den 

 Punkten erfüllt (da ja P, als Ausgangspunkt, zu den als bekannt voraus- 

 gesetzten Lagen gehört uud P' hierbei zunächst gar nicht vorkommt). Auf 

 der Achse, welche durch den auf der negativen Seite von jt befindlichen 

 isolierten Punkt geht, liegen zwei unserer als bekannt vorausgesetzten 

 Punkte. Wir wählen einen dieser beiden Punkte zum neuen Pol (Pi) und 

 können dann, von Pj ausgehend, durch AusführuTig einer zweiten Operation, 

 welche der ersten analog und mit ihr durch Pj kontinuierlich verbunden 

 ist, die positive Seite der zu P^ gehörenden Polebene jr^ und, wenn dies 

 vorher der Fall war, jt^ selbst vollständig erfüllen. Zugleich gehört aber 

 jetzt der Gegenpol Pi' zu unseren Lagen. Also ist damit der zweite Fall 

 auf den ersten zurückgeführt und der Satz ist bewiesen. — 



•■ö"- 



3. Satz. 



Wenn ein kontinuierlicher Eckpunkt Pj vermöge der Spiegelungen 

 alle Lagen auf der einen Seite der Polebene .t^ und in jr^ einnimmt (dies 

 mufs die positive Seite sein, da wir auf der anderen Seite vorläufig keineu 



