[^7] Untersuchungen über gieichflächige Polyeder. . 119 



Punkt kennen) mid wenn jt-^ selbst sicher Lagen des Punktes enthält, so 

 wird er durch die Spiegelungen in sämtliche homologe Lagen gebracht. 



Beweis. 



Man wähle einen der in jt^ gelegenen Punkte (Po) zum neuen Pol 

 und zum Ausgangspunkt einer zweiten (der ersten analogen) Operation. 

 Dann wird die positive Seite von jt-, ganz erfüllt und es gelangt der Punkt 

 auch in alle Lagen, welche ihm seiner Natur nach in jr, möglich sind, also 

 auch nach Pj sowie nach P/, da diese beiden in jto gelegen sind. Dann 

 wird also die positive Seite von jr, (und jr, selbst) ganz erfüllt und aufser- 

 dem der Punkt in die Lage P^' gebracht. Dann gelangt aber nach dem 

 vorigen Satze der Punkt in alle ihm möglichen Lagen. Q. e. d. 



4. Satz. 



Wenn ein kontinuierlicher, auf einer geradzahligen Achse gelegener 

 Eckpunkt P vermöge der Spiegelungen irgend eine Lage Q in der Pol- 

 ebene jt einnimmt, so wird er durch die Spiegelungen in sämtliche ihm in 

 jt mögliche Lagen gebracht. 



Beweis. 



Die Spiegelungen an den durch den Pol P gehenden Symmetrie- 

 kanten bringen das Ausgangspolygon in neue Lagen (bei Erhaltung von P) 

 und setzen so die durch die ursprüngliche Operation erhaltene Figur 

 symmetrisch fort. Durch die sämtlichen Spiegelungen an den Symmetrie- 

 ebenen einer geradzahligen Symmetrieachse werden alle in senkrechter 

 Ebene liegenden gleichzähligen Achsen ineinander übergeführt und auch 

 umgekehrt (d. h. um 180° gedreht); also werden auch alle auf diesen Achsen 

 liegenden homologen Punkte ineinander übergeführt. Q. e. d. 



Wenn wir den 3. und 4. Satz zusammennehmen, so erhalten wir den 



5. Satz. 



Wenn ein kontinuierlicher, auf geradzahliger Achse gelegener Punkt 

 P vermöge der Spiegelungen alle Lagen auf der einen (positiven) Seite der 

 Polebene jt einnimmt, und wenn der Punkt auch nur ein einziges Mal 

 nach ji gelangt, so wird er durch die Spiegelungen in alle überhaupt 

 möglichen homologen Lagen gebracht. — 



