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G. Satz. 



Die Teilpolyeder einer „konzentrischen Anordnung-" sind untereinander 

 kongruent bez. symmetrisch. 



Beweis. 



Angenommen, dies wäre nicht richtig, so wären mindestens zwei 

 verschieden gestaltete (d. h. nicht kongruente oder nicht symmetrische) Teil- 

 polyeder Qi und Q., vorhanden. Es gehöre 



das Begrenzungspolygon q^ dem Teilpolyeder Qi, 



Dann mufs gi und q^ kongruent oder symmetrisch sein (da ja das Gesamt- 

 polyeder gleichflächig ist). Kun fordert das Bestehen des gleichflächigen 

 Gesamtpolyeders, dessen Ebenen eine symmetrische vollständige Figur bilden, 

 dafs es mit sich selbst, entweder direkt oder nach einer symmetrischen 

 Umformung, dadurch zur Deckung* gebracht werden kann, dafs man q^ mit 

 g, (eventuell nach symmetrischer Umformung) zur Deckung bringt. Deshalb 

 müssen auch diejenigen Teilpolyeder, von denen ein Begrenzungspolygon 

 zur Deckung gebracht ist, entweder vollständig ineinander übergeführt 

 werden, oder sie müssen ein vollkommenes Polyeder gemeinsam haben. 

 Also müssen entweder Qi und Q^ kongruent bez. symmetrisch sein, oder sie 

 müssen ein anderes Teilpolyeder Q^ gemeinsam haben (eventuell nach 

 symmetrischer Umformung). Wenn wir nun im letzteren Falle die gleichen 

 Schlüsse auf die aus {Q^ — (^3)7 {Q2 — Qs) und Q.3 gebildeten Paare anwenden, 

 so wird, da (wegen der endlichen Anzahl der Polyederebenen) die Zahl der 

 Teilpolyeder endlich ist, das ursprüngliche Polyeder schliefslich in lauter 

 zu einander kongruente bez. symmetrische Teilpolyeder zerfallen. Q. e. d. 



Deshalb ist, wenn wir mit „ ' " die auf das Teilpolyeder bezüglichen 

 Daten bezeichnen, und wenn M die Anzahl der Polyederflächen darstellt: 



Ä = CÄ' 



M = cM' 



Also folgt noch als notwendige Bedingung für das Zerfallen: 

 M und A müssen einen gemeinsamen Faktor c haben. 



