[79] Untersuchungen über gleichflächige Polyeder. 121 



Also ergibt sich in unserem Falle (ilf = 48): 



A muTs durch 2 oder 3 teilbar sein. 

 Auch die Anzahl c der Teilpolyeder kann nur 2 oder 3 als Primteiler haben. — 



Die oben abgeleiteten Sätze genügen zur Durchführung der folgenden 

 Betrachtungen über das Zerfallen der Polyeder. 

 Wii' bemerken noch: 



Das vollständige System der Punkte i? (vierzählige Achsen, Oktaederecken) 

 besteht in Pol, Gegenpol und vier in der Polebene gelegenen 

 Punkten (also nur P und P' aufserhalb jt). 



Das vollständige System der Punkte S (dreizählige Achsen, Würfelecken) 

 besteht in Pol, Gegenpol und je drei auf der positiven und negativen 

 Seite von jt gelegenen Punkten (kein Punkt in jt[). 



Das vollständige System der Punkte P (zweizählige Achsen, Kantenhalbierungs- 

 punkte von Oktaeder und Würfel) besteht in Pol, Gegenpol, zwei 

 in der Polebene gelegenen Punkten und je vier auf der positiven 

 und negativen Seite von m befindlichen Punkten. — 



Es sind nun folgende Fälle für die Begrenzungsfläche 

 denkbar: 



A) Die Begrenzungsfläche ist ein von Parallelen begrenzter unendlicher 

 Streifen. Beim allgemeinen Hexakisoktaeder kann nur 64 ins Un- 

 endliche rücken (für Untergattung 7). Da die Spiegelungen an den 

 Kanten eines Punktes S die Fläche in sechs Lagen bringen, so zerfällt der 



48 

 Körper in -^ = 8 Teilpolyeder, nämlich sechsflächige unendliche Pris- 

 men, die zu je zweien einer dreizähligen Achse parallel sind. 



B) Die Begrenzungsfläche ist ein n-Eck') (von dem auch Eckpunkte im 

 Unendlichen liegen dürfen); es ist nur möglich: 



a) S und T treten als Ecken auf: Schon das Vorhandensein je eines 

 Punktes 5' und P genügt, um ein Zerfallen auszuschliefsen. Denn: 

 die Drehung um eine trigonale Achse bringt eine zweizählige Achse 

 in die Lage von (zwei) anderen, auf der ersten zweizähligen Achse 

 nicht senkrecht stehenden Achsen; dann haben wir mindestens 



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