§ 6. 

 Die halbregulären Varietäten. 



Da bei den gleichflächigen halbregulären Körpern alle Ecken regulär 

 sind, so müssen sämtliche Flächenwinkel des Polyeders einander gleich sein. 

 Umgekehrt ist diese Bedingung eine hinreichende Charakteristik der halb- 

 regulären gleichflächigen Vielflache (mit direkt- symmetrischen Kanten). 

 Denn jede der Ecken (die ja nur von Achsenhauptpunkten gebildet werden) 

 enthält ohnedies schon lauter gleiche Kantenwinkel. Um also die hierher- 

 gehörigen halbregulären Polyeder zu erhalten, werden wir untersuchen, 

 welche an direkt- symmetrischen Kanten liegenden Flächenwinkel unserer 

 vollständigen Figur einander gleich werden können und wann. Deshalb 

 müssen zuerst von den Parametern n und m abhängende Formeln für diese 

 Flächenwinkel aufgestellt werden. 



a) Die Flächenwinkel an den drei Hauptsymmetriekanten AB, ÄC 

 und BC (allgemein PQ): 



Man errichte auf unserer Kante PQ die durch die dritte Achse OB 

 gehende senkrechte Ebene (Fuispunkt L auf PQ). Dann ist < OLB die 

 Hälfte des gesuchten Flächen winkeis cp an der Kante PQ. (Fig. 2) 



Es verhält sich nun ÖL:OP = ÖQ: PQ, 



also OL = /-- : . 



Deshalb 



p • g. 



cos ? = ££ = '^^ = 1/2^- + g- ^ _ pg 



2 BL 1/0^2 + 0X2 l/,2 , ^^ 1/23222 +j,2,.2+ 22,-2 



p'- + 22 



