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Artur Rosenthal, 



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ohne weiteres. Denn jedes andere unsymmetrische Polygon hat ein Analogon in 

 der BegTenzungsfläche eines nicht zerfallenden allgemeinen Hexakisoktaeders. 

 Durch die Deckhewegiingen , die sich bei der Spezialisierung nicht ändern, 

 wird die Begrenzungsfiäche dieses allgemeinen Hexakisoktaeders in alle 

 48 Lagen gebracht. Bei der Spezialisierung fallen je n von ihnen in eine 

 Ebene und bilden zusammen ein symmetrisches Polygon. Also ist ein gleich- 

 flächiges Polyeder, das als Begrenzungsfläche jenes unsymmetrische Polygon 

 ohne seine symmetrischen Wiederholungen enthält, unmöglich. Q. e. d. 



Zur genauen Unterscheidung wollen wir die holoedrischen Polyeder 

 mit der Symmetrie des allgemeinen Hexakisoktaeders vollsymmetrisch 

 oder holosymmetrisch nennen, die mit verminderter Symmetrie dagegen 

 teilsymmetrisch oder merosymmetrisch. 



In diesem § sollen nur die holoedrisch- hol osymmetrischen Polyeder 

 behandelt werden, d. h. die eigentlichen Spezialisierungen des Hexakisoktaeders. 

 Die holoedrisch-merosymmetrischen Gestalten sollen dagegen erst nach der 

 Ableitung der meroedrischen Körper betrachtet werden (in § 9), damit nicht 

 spezielle Formen den allgemeineren vorangehen. — 



Wir wollen nunmehr die einzelnen Gattungen näher untersuchen. 



1. Das Tetrakishexaeder (oo -. m : 1). 



Wegen ^ = oo rückt der Punkt C ins Unendliche. Die Polyeder- 

 fläche steht deshalb senkrecht zur Symmetrieebene, deren Spur AB ist. 

 Also AC und BG, sowie ab — C und ab-G ± AB (Fig. 4). 



Das Einsetzen des speziellen Wertes ergibt: 



0S^ 



m + 1 ' 



m — 1 



V3- 



Da mn> n + m (für 00 > w^ > 1), 

 so gehört das Tetrakishexaeder zur 

 Untergattung « des Hexakisoktaeders. 



O — ah 



-^«1/2; 



O — ah 



m-{- . 



— ac ^ — ac = a|/2 

 — hc^0—bc = ma\/2. 



^-al/2 



(NB. ab und ab treten nicht als 

 Eckpunkte auf!) 

 Es ist also: 







\0 — ac iO — ab 



{=0 — acl \0- 



■hc^O — bc 

 Ferner 



— 6c^ — &c^ — ab, wenn w ^ 2. 



