[127] Untersuchungen über gleichflächige Polyeder. 169 



Alle anderen Polyeder sind kontinuierlich; denn sie enthalten im 

 Begrenzungspolyo-on mindestens zwei^) Punkte S, die sich, wie erwähnt, in 

 die Lagen der Ecken eines Tetraeders bringen. 



Aus § 6 ergibt sich, dafs halbreguläre Varietäten für das all- 

 gemeine Hexakistetraeder nicht existieren. 



2. Das Triakistetraeder [x {m : m : 1)]. 



Das Triakistetraeder ist die geneigtflächige Hemiedrie des Deltoid- 

 ikositetraeders und zugleich eine Spezialisierung des Hexakistetraeders. 

 Daher ist die Schnittfigur symmetrisch in bezug auf die Gerade 5'i — 8^, die 

 selbst als Kante nicht auftritt (Fig. 11), da auf ihrer Symmetrieebene die 

 Polyederfläche senkrecht steht. A ist also nicht mehr Eckpunkt; in B^C 

 treflfen sich vier Ebenen, in Si und /S'4 drei, in S^ = 83 sechs. Wie das Ikosi- 

 tetraeder gehört das Triakistetraeder allen drei Untergattungen an; Kri- 

 teriiim: w = 2. 



Da immer zwei zu 8^ — ^4 symmetrisch liegende Doppelzellen zu- 

 sammengehören und spiegelbildlichgleich sind, so ist die Anzahl der ver- 

 schiedenen Zellformen halb so grofs wie bei dem allgemeinen Hexakistetraeder. 

 Die geschlossenen Grundformen sind folgende: 



{a±b) = x((l -f-7) + (2-f- 11)), 



ie + d) = y. ((3 -f- 9) + (5 -f- 13)), 



ie + f) = y. ((8 + 14) ± (12 + 15)) («7!) 



(5- ± 70 = X ((4 -1- 16) ± (6 -i- 17)) (^7!) 



Die Anzahl der hierhergehörigen geschlossenen Polyeder beträgt 

 in Untergattung « und ß {m ^ 2) : 



für ^ = 1 2 3 

 3-1-3-1-1 



= 23— 1 = 7: 



bez. in Untergattung 7 (m = 2): 



iüT A = i 2 3 4 



2 (4- 2) + 1 (-f- 5) + (-1- 4) + (+ 1) 

 = 22— 1 (+24—22) = 3 (-1- 12), zusammen = 15. 



1) Vgl. Anmerkung 2) auf S. 122. 



