280 Jakob Weigel, f4] 



Weitergeführt sind die Poincar^scheu Untersucliungen von Bendixson 

 in einem längeren Aufsatz „sur les courbes definies par des equations 

 dififerentielles'V) der von den Funktionen X, Y nur voraussetzt, dafs sie,, 

 sowie ihre ersten Ableitungen nach x und y in dem betrachteten Bereich 

 stetig sind. Insbesondere behandelt Bendixson den Fall, wo X F Potenz- 

 reihen sind, die mit höheren als den linearen Gliedern beginnen. Derartige 

 Differentialgleichungen lassen sich durch eine Reihe bilinearer Trans- 

 formationen auf die Form 



zurückführen, wo C6 =)= 0, ^ {x, y) eine Potenzreihe nach ganzen Potenzen 

 von X, y ist, deren niedrigste Grlieder mindestens von der zweiten Ordnung 

 sind. Mit Hilfe dieser Form gelingt es, nicht nur die gestaltlichen Ver- 

 hältnisse in der Nähe des singulären Punktes genau zu diskutieren, sondern 

 auch eine Reihenentwicklung für das Integral an dieser Stelle anzugeben 

 (vgl. auch die Abhandlungen „sur les points singuliers des equations diffe- 

 rentielles").^) 



Differentialgleichungen erster Ordnung höheren Grades wurden von 

 Poincar6 (a. a. 0. 1885) näher untersucht. Er deutet die Integralkurven 

 der Differentialgleichung 



auf der Fläche 



dy 



welche einfach von den Kurven des Integralsystems bedeckt erscheint. Die 

 im allgemeinen (an der Umrifskurve ^ = der Fläche) auftretenden 

 singulären Punkte sind die oben genannten drei Haupttypen (noeud, col, 

 foyer) der Differentialgleichung ersten Grades. Sie sind in ihrer Projektion 

 auf die x?/-Ebene, welche sie doppelt überdecken, eingehend diskutiert von 

 W. von Dyck in zwei Abhandlungen „über die gestaltlichen Verhältnisse 



1) Acta Mathematica. Bd. 24. 



2) Öfversigt af k. Vetenskaps Akad. Förhandlingar 1898 (Stockholm). 



